Gọi số tự nhiên cần tìm là` A`

Chia cho` 29` dư `5 `nên:` A = 29p + 5 (p ∈ N)`

Chia `31` thì dư `29 `nên: `A = 31q + 29( q ∈ N )`

`->``29p + 5 = 31q + 29 => 29(p - q) = 2q + 24`

Mà:

`2q + 24` là số chẵn `=> 29(p – q) `cũng là số chẵn` =>p – q  `chẵn.

Theo giả thiết A nhỏ nhất

  `    => p – q` nhỏ nhất

Do đó :`p – q = 2 => 2q = 29×2 – 24 `

` =>2q=34`

`=>q=17`

Vậy số cần tìm là: `A = 31q + 29 = 31. 17 + 29 = 556`

Gọi số cần tìm là : x ( 0 < x )

Ta có : x : 29 dư 5 nên a có dạng 29k + 5 ( 0 < k )

           x : 31 dư 29 nên a có dạng 31n + 29 ( 0 < n )

Lại có : 29k + 5 = 31n + 29 hay 29 x ( k - n ) = 2n + 24

Ta thấy 2n + 24 là số chẵn nên 29 x ( k - n ) là số chẵn hay k - n là số chẵn .

Để x nhỏ nhất thì k - n phải là số nhỏ nhất nên k - n = 2 hay 2 x n = 29 x 2 - 24 = 34 và k = 17

    Số X là :

  31 x 17 + 29 = 556

Vậy , số cần tìm là : 556 .