`a)` $AD;CF$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$ của $∆ABC$ 

`=>\hat{BDH}+\hat{BFH}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{BDH};\hat{BFH}` ở vị trí đối nhau 

`=>BDHF` nội tiếp 

$\\$

$\quad BE;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$

`=>\hat{BEC}= \hat{BFC}=90°`

`=>BCEF` nội tiếp (có hai đỉnh kề nhau $E; F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông)

$\\$

`b)` $BCEF$ nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{EFC}=\hat{EBC}` (cùng chắn cung $EC$)

`\qquad BDHF` nội tiếp (câu a)

`=>\hat{DFH}=\hat{HBD}=\hat{EBC}` (cùng chắn cung $DH$

`=>\hat{EFC}=\hat{DFH}` 

Mà tia $FC$ nằm giữa hai tia $FE$ và $FD$

`=>FC` là phân giác `\hat{EFD}`

$\\$

Vì $FB\perp FC$

`=>FB` là phân giác góc ngoài của `\hat{EFD}`

`=>FB` là phân giác `\hat{MFD}`

`=>{BD}/{MB}={FD}/{FM}`

$\\$

`\qquad FC` trở thành phân giác góc ngoài của `\hat{MFD}`

`=>{CD}/{MC}={FD}/{FM}`

$\\$

`=>{CD}/{MC}={BD}/{MB}`

$\\$

`c)` Gọi $N$ là giao điểm của $MA$ và $(O)$

$\quad ANBC$ nội tiếp $(O)$

`=>\hat{MNB}=\hat{MCA}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét $∆MNB$ và $∆MCA$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad \hat{MNB}=\hat{MCA}` 

`=>∆MNB∽∆MCA` (g-g)

`=>{MN}/{MC}={MB}/{MA}`

`=>MN.MA=MB.MC` $(1)$

$\\$

`\qquad BCEF` nội tiếp

`=>\hat{MFB}=\hat{MCE}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét $∆MFB$ và $∆MCE$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad \hat{MFB}=\hat{MCE}` 

`=>∆MFB∽∆MCE` (g-g)

`=>{MF}/{MC}={MB}/{ME}`

`=>ME.MF=MB.MC` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>MN.MA=ME.MF`

`=>{MN}/{ME}={MF}/{MA}`

$\\$

Xét $∆MNF$ và $∆MEA$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad {MN}/{ME}={MF}/{MA}`

`=>∆MNF∽∆MEA` (c-g-c)

`=>\hat{MNF}=\hat{MEA}` 

`=>AEFN` nội tiếp (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện) $(3)$

$\\$

Xét tứ giác $AEHF$ có:

`\qquad \hat{AFH}+\hat{AEH}=90°+90°=180°`

`=>AEHF` nội tiếp $(4)$

Từ `(3);(4)=>N;A;E;H;F` cùng thuộc một đường tròn

`=>AEHN` nội tiếp 

`=>\hat{ANH}+\hat{AEH}=180°`

`=>\hat{ANH}=180°-\hat{AEH}=180°-90°=90°`

`=>HN`$\perp AM$ tại $N$

`=>\hat{INH}=90°`

$\\$

Vì $BH\perp AC$ ; $IK$//$AC$ (gt)

`=>BH`$\perp IK$

`=>\hat{HBI}=90°`

`=>\hat{INH}+\hat{HBI}=90°+90°=180°`

`=>NHBI` nội tiếp 

`=>\hat{BHI}=\hat{BNI}` (cùng chắn cung $BI$) $(5)$

$\\$

$\quad ANBC$ nội tiếp $(O)$

`=>\hat{BNI}=\hat{ACB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện) $(6)$

$\\$

Vì `\hat{HEC}+\hat{HDC}=90°+90°=180°`

`=>HECD` nội tiếp 

`=>\hat{BHK}=\hat{ACB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện) $(7)$

Từ `(5);(6);(7)=>\hat{BHI}=\hat{BHK}`

`=>HB` là phân giác `\hat{IHK}`

Mà $HB\perp IK$ (c/m trên)

`=>HB` vừa là đường cao và phân giác $∆HIK$

`=>∆HIK` cân tại $H$