Giải thích các bước giải:

Bài 36:

a.Xét $\Delta AEC, \Delta BCD$ có:

$CA=CB$

Chung $\hat C$ 

$CE=\dfrac12CB=\dfrac12CA=CD$

$\to\Delta ACE=\Delta BCD(c.g.c)$

$\to AE=BD$

b.Ta có $CA=CB, CD=CE\to \Delta CAB,\Delta CDE$ cân tại $C$

$\to \widehat{CDE}=90^o-\dfrac12\hat C=\widehat{CAB}$

$\to DE//AB$

c.Ta có $AE, BD$ là trung tuyến $\Delta ABC, AE\cap BD=M\to M$ là trọng tâm $\Delta ABC\to CM\cap AB=I$ là trung điểm $AB$

$\to CI\perp AB$ vì $\Delta ACB$ cân tại $C$

$\to IM\perp AB$

Ta có $I$ là trung điểm $AB\to IA=IB=\dfrac12AB=12$

$\to IC^2=BC^2-BI^2=81$

$\to IC=9$

Mà $M$ là trọng tâm $\Delta ABC\to IM=\dfrac13IC=3$

d.Trên tia đối của tia $EA$ lấy $K$ sao cho $EA=EK$

Xét $\Delta AEB,\Delta CEK$ có:

$EA=EK$

$\widehat{AEB}=\widehat{CEK}$

$EB=EC$

$\to \Delta AEB=\Delta KEC(c.g.c)$

$\to AB=CK$

$\to AK<AC+CK$

$\to 2AE<AC+AB$

$\to AE<\dfrac{AB+AC}{2}$

Tương tự $BD<\dfrac{BA+BC}{2}, CI<\dfrac{CA+CB}{2}$

$\to AE+BD+CI<\dfrac{AB+AC}{2}+\dfrac{BA+BC}{2}+\dfrac{CA+CB}{2}$

$\to AE+BD+CI<AB+AC+BC$

$\to 2AE+CI<AB+2BC$

Bài 37:

a.Xét $\Delta ABD,\Delta ACE$ có:

$AD=AE$

$\widehat{ADB}=\hat D=\hat E=\widehat{AEC}$

$BD=CE$

$\to\Delta ABD=\Delta ACE(c.g.c)$

$\to AB=AC$

$\to\Delta ABC$ cân tại $A$

b.Xét $\Delta BMD,\Delta CNE$ có:

$\widehat{BMD}=\widehat{CNE}(=90^o)$

$BD=CE$

$\widehat{BDM}=\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=\widehat{CEN}$

$\to \Delta BDM=\Delta CEN$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BM=CN$

c.Từ câu b $\to \widehat{MBD}=\widehat{NCE}$

$\to \widehat{IBC}=\widehat{MBD}=\widehat{NCE}=\widehat{ICB}$

$\to\Delta ICB$ cân tại $I$