Ta có: ( x² + ax + b ).(x ² + bx + a ) = 0

  => x² + ax + b = 0 (1) hoặc x ² + bx + a = 0 (2)

Xét pt (1) có $Δ_{1}$ = $a^{2}$ - 4b

Xét pt (2) có: $Δ_{2}$ = $b^{2}$ - 4a

Như vậy, $Δ_{1}$ + $Δ_{2}$ = $a^{2}$ - 4b + $b^{2}$ - 4a

                               = $a^{2}$ + $b^{2}$ - 4(a+b)

    Mà $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ 2(a+b) = ab

 ⇒ $Δ_{1}$ + $Δ_{2}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$ - 4(a+b) = $a^{2}$ + $b^{2}$ - 2ab = $(a-b)^{2}$ $\geq$ 0 (luôn đúng)

 ⇒ Có ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm

 ⇒ đpcm

Có chỗ nào ko hiểu cứ hỏi nhé.

Theo đề bài ta có: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a + b = \dfrac{{ab}}{2}$

Ta lại có: 

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + ax + b = 0\, \Rightarrow {\Delta _1} = {a^2} - 4b\\ {x^2} + bx + a = 0 \Rightarrow {\Delta _2} = {b^2} - 4a \end{array} \right.\\ {\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} + {b^2} - 4a - 4b = {a^2} + {b^2} - 4\left( {a + b} \right) = {a^2} + {b^2} - \dfrac{{4ab}}{2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\\ \end{array}$

Suy ra có ít nhất một trong hai $\Delta_1,\Delta_2$ không âm

Vậy ít nhất hai phương trình trên có 1 trong hai phương trình có nghiệm hay phương trình $(x^2+ax+b)(x^2+bx+a)=0$ luôn có nghiệm