Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $DE\perp AB\to \Delta BDE$ vuông tại $D$

                $\Delta BDE$ đều $\to \widehat{BED}=90^o-\hat B=30^o$

$\to BE=2BD$ vì trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc $30^o$ thì bằng nửa cạnh huyền

$\to BE=2\cdot \dfrac13AB=\dfrac13AB=\dfrac23BC$

$\to CE=BC-BE=\dfrac13BC=\dfrac13AB=BD$

Xét $\Delta DBE,\Delta CEF$ có:

$\widehat{BDE}=\widehat{FEC}(=90^o)$

$BD=CE$

$\widehat{DBE}=\widehat{ECF}(=60^o)$

$\to \Delta BDE=\Delta CEF(g.c.g)$

$\to ED=EF$

$\to \Delta EDF$ cân tại $E$

Mà $\widehat{DEF}=\widehat{FEB}-\widehat{DEB}=90^o-30^o=60^o$

$\to \Delta EDF$ đều

$\to \widehat{DFE}=60^o$

Mà $\widehat{EFC}=\widehat{DEB}=30^o$

$\to \widehat{DFC}=\widehat{DFE}+\widehat{EFC}=90^o$

$\to DF\perp FC$

$\to DF\perp AC$

2.Từ câu 1 $\to đpcm$

3.Vì $\Delta DEF$ đều, $G$ là trọng tâm $\Delta DEF$

$\to G$ đồng thời là giao ba đường phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực $\Delta DEF$

$\to GD=GE=GF$

      $\widehat{GFD}=\widehat{GFE}=\dfrac12\hat F=30^o$

      $\widehat{GEF}=\widehat{GED}=\dfrac12\hat E=30^o$

      $\widehat{GDE}=\widehat{GDF}=\dfrac12\hat D=30^o$

Xét $\Delta GDB,\Delta GEC$ có:

$GD=GE$

$\widehat{GDB}=\widehat{GDE}+\widehat{EDB}=30^o+90^o=120^o=180^o-60^o=\widehat{BEC}-\widehat{BEG}=\widehat{GEC}$

$BD=CE$

$\to \Delta GDB=\Delta GEC(c.g.c)$

$\to GB=GC$

Tương tự chứng minh được $GA=GC$

$\to GA=GB=GC$