`a)` $AB$ là đường kính của $(O)$ và $K\in (O)$

`=>\hat{AKB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vì `N\in KB=>\hat{AKN}=90°`

$\\$

`b)` Xét $∆MAB$ vuông tại $A$ có $AK\perp MB$

`=>AM^2=MK.MB` (hệ thức lượng)

$\\$

`c)` $MA$ và $MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$

`=>MA=MC`

Mà $OA=OC=R$

`=>OM` là trung trực của $AC$

`=>OM`$\perp AC$

Ta có:

`\qquad \hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>BC`$\perp AC$

 `=>OM`//$BC$

`=>\hat{CBM}=\hat{OMB}` (hai góc so le trong)

Mà `\hat{CBM}=\hat{KAC}` (cùng chắn cung $KC$)

`=>\hat{KAC}=\hat{OMB}`

$\\$

`d)` Xét $∆BHN$ và $∆BAM$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{BHN}=\hat{BAM}=90°`

`=>∆BHN∽∆BAM` (g-g)

`=>{NH}/{MA}={HB}/{AB}`

`=>{2NH}/{MA}={2HB}/{2AO}` (vì $AB=2R=2AO$)

`=>{2NH}/{MA}={HB}/{AO}` $(1)$

$\\$

Xét $∆BHC$ và $∆OAM$ có:

`\qquad \hat{HBC}=\hat{AOM}` (hai góc đồng vị do $OM$//$BC$)

`\qquad \hat{BHC}=\hat{OAM}=90°`

`=>∆BHC∽∆OAM` (g-g)

`=>{CH}/{MA}={HB}/{AO}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>{2NH}/{MA}={CH}/{MA}`

`=>CH=2NH`

Mà `C;N;H` thẳng hàng 

`=>N` là trung điểm $CH$