`a)` `Vì $OI\perp AC$ tại $I$ (gt)

`=>\hat{AIO}=90°`

`\qquad AD` là tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$

`=>\hat{ADO}=90°`

`=>\hat{ADO}=\hat{AIO}=90°`

`=>ADIO` nội tiếp (có 2 đỉnh $D;I$ cùng nhìn cạnh $AO$ dưới góc vuông) $(1)$

$\\$

`\qquad AE` là tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$

`=>\hat{AEO}=90°`

`=>\hat{AEO}+\hat{ADO}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{ADO};\hat{AEO}` ở vị trí đối nhau

`=>ADOE` nội tiếp $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>A;D;I;O;E` cùng thuộc $1$ đường tròn 

$\\$

`b)` Vì $A;D;I;O;E$ cùng thuộc $1$ đường tròn

`=>ADIE` nội tiếp 

`=>\hat{AID}=\hat{AED}` (cùng chắn cung $AD$)

`\qquad \hat{AIE}=\hat{ADE}` (cùng chắn cung $AE$)

$\\$

Mà `\hat{AED}=\hat{ADE}` (cùng chắn cung $DE$ của $(O))$

`=>\hat{AID}=\hat{AIE}`

Vì `IA` là tia nằm giữa hai tia `ID` và $IE$

`=>IA` là phân giác `\hat{DIE}`

$\\$

Xét $∆ADB$ và $∆ACD$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ADB}=\hat{ACD}` (cùng chắn cung $DB$)

`=>∆ADB∽∆ACD` (g-g)

`=>{AD}/{AC}={AB}/{AD}`

`=>AB.AC=AD^2`

$\\$

`c)` Vì $IA$ là phân giác `\hat{DIE}`

`=>IK` là phân giác `\hat{DIE}`

`=>{DI}/{EI}={DK}/{EK}`

Vì $IF\perp IA$

`=>IF` là phân giác ngoài của `\hat{DIE}`

`=>{DI}/{EI}={FD}/{FE}`

`=>{DK}/{EK}={FD}/{FE}` 

$\\$

Xét $∆KEI$ có $PD$//$IE$ (gt)

`=>{DK}/{EK}={PD}/{IE}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{PD}/{IE}={FD}/{FE}` $(3)$

$\\$

Xét $∆IEF$ có $HD$//$IE$ (gt)

`=>{HD}/{IE}={FD}/{FE}` (hệ quả định lý Talet) $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>{PD}/{IE}={HD}/{IE}`

`=>PD=HD`

Mà $P;D;H$ thẳng hàng 

`=>D` là trung điểm của $HP$