Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\dfrac{2\cos\bigg(\dfrac{\widehat{A}}{2}\bigg)}{AD} = \dfrac{2\cos\bigg(\dfrac{90^o}{2}\bigg)}{AD} = \dfrac{2\cos 45^o}{AD} = \dfrac{2 . \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{AD} = \dfrac{\sqrt{2}}{AD}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{\sqrt{2}}{AD}$

Kẻ $DE \bot AB, DF\bot AC$

Xét tứ giác $AEDF$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{EAF} = 90^o(gt) \\ \widehat{AED} = 90^o(DE \bot AB) \\ \widehat{AFD} = 90^o (DF \bot AC)\end{cases}$

$\Rightarrow AEDF$ là hình chữ nhật

Mà $AD$ là tia phân giác của $\widehat{EAF}$

$\Rightarrow AEDF$ là hình vuông (hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc)

$\Rightarrow AE = ED = DF = AF$

Xét $\Delta ADF$ vuông tại $F$, ta có:
$DF^2 + AF^2 = AD^2$(định lý Pytago)

$\Rightarrow 2DF^2 = AD^2$

$\Rightarrow AD = DF\sqrt{2}$

$\Rightarrow DF = \dfrac{AD}{\sqrt{2}}$

Ta có:
$\begin {cases} DF \bot AC \\ AB \bot AC \end {cases}$
$\Rightarrow DF // AB$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $DF // AB$, ta có:

$\Rightarrow \dfrac{DF}{AB} = \dfrac{DC}{BC}$(hệ quả định lý Talet)

$\Rightarrow \dfrac{1}{AB} = \dfrac{DC}{DF . BC}$

Ta có:
$\begin {cases} DE \bot AB \\ AC \bot AB \end {cases}$
$\Rightarrow DE // AC$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $DE // AC$, ta có:

$\Rightarrow \dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BD}{BC}$(hệ quả định lý Talet)

$\Rightarrow \dfrac{1}{AC} = \dfrac{BD}{DE . BC}$

Mà $DE = DF$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AC} = \dfrac{BD}{DF . BC}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{DC + BD}{DF . BC}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{BC}{DF . BC}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{1}{DF}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{\sqrt{2}}{AD}$

$\color{red}{\text{#Vexi}}$