a)

Xét $\Delta CHA$ và $\Delta CHM$, ta có:

+   $CH$ là cạnh chung

+   $\widehat{CHA}=\widehat{CHM}=90{}^\circ $

+   $HA=HM\left( gt \right)$

$\to \Delta CHA=\Delta CHM\left( c.g.c \right)$

$\to CA=CM$

b)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta MBC$, ta có:

+   $BC$ là cạnh chung

+   $\widehat{ACB}=\widehat{MCB}$ (vì $\Delta CHA=\Delta CHM$)

+   $CA=CM\left( cmt \right)$

$\to \Delta ABC=\Delta MBC\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{ACB}=\widehat{MCB}$

$\to CB$ là tia phân giác $\widehat{ACM}$

c)

Xét $\Delta ACM$ có hai đường phân giác $CB$ và $AO$ giao nhau tại $O$

$\to O$ là giao điểm ba đường phân giác của $\Delta ACM$

$\to MO$ là tia phân giác của $\widehat{AMC}$

d)

Ta có:

$\widehat{HAO}+\widehat{AOB}=90{}^\circ $

$\widehat{CAO}+\widehat{OAB}=90{}^\circ $

Mà $\widehat{HAO}=\widehat{CAO}$

Nên $\widehat{AOB}=\widehat{OAB}$

$\to \Delta BAO$ cân tại $B$

$\to BA=BO$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ và $\Delta OBE$ vuông tại $O$, ta có:

+   $BE$ là cạnh chung

+   $BA=BO\left( cmt \right)$

$\to \Delta ABE=\Delta OBE\left( ch-cgv \right)$

$\to BA=BO$ và $EA=EO$

$\to BE$ là đường trung trực của $AO$

$\to BE$ đi qua trung điểm của $AO$

$\to BE$ đi qua trọng tâm của $\Delta ABO$