Đáp án:

$a/$

`text{Xét ΔABC vuông tại A có :}`

`AB^2 + AC^2 = BC^2` `text{(Định lí Pitago)}`

`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`

`-> AC^2 = 10^2-  5^2`

`-> AC^2 = 75`

`-> AC = \sqrt{75cm}`

$\\$

$\\$

$b/$

`text{Xét ΔABD và ΔEBD có :}`

`hat{BAD} = hat{BED} = 90^o`

`text{BD chung}`

`hat{ABD} = hat{EBD}` `text{(Vì BD là tia phân giác của góc B)}`

`->` `text{ΔABD = ΔEBD (cạnh huyền - góc nhọn)}`

`-> AB = EB` `text{(2 cạnh tương ứng)}`

`->` `text{B nằm trên đường trung trực của AE (1)}`

$\\$

`text{Vì ΔABD = ΔEBD (chứng minh trên)}`

`->` `text{AD = ED (2 cạnh tương ứng)}`

`->` `text{D nằm trên đường trung trực của AE (2)}`

$\\$

`text{Từ (1) và (2)}`

`->` `text{BD là đường trung trực của AE}`

`-> BD⊥AE`

$\\$

$\\$

$c/$

`text{Xét ΔBDE và ΔFDA có :}`

`hat{BED} = hat{DAF} = 90^o`

`text{AD = ED (chứng minh trên)}`

`hat{ADF} = hat{BDE}` `text{(Vì cùng bù góc BDA)}`

`->` `text{ΔBDE = ΔFDA (góc cạnh góc)}`

`text{mà ΔBDA = ΔBDE (chứng minh trên)}`

`-> ΔBDA = ΔFDA` `text{(Vì cùng bằng ΔBDE)}`

`->` `text{BA = FA (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

`text{Xét ΔABC và ΔAFC có :}`

`text{BA = FA (chứng minh trên)}`

`hat{BAC} = hat{FAC} = 90^o`

`text{AC chung}`

`->` `text{ΔABC = ΔAFC (canh - góc - cạnh)}`

$\\$

$\\$

$d/$

`text{Xét ΔFBC có :}`

`text{FE là đường cao của ΔFBC}`

`text{CA là đường cao của ΔFBC}`

`text{CA cắt FE tại D}`

`->` `text{D là trực tâm của ΔFBC}`

$\\$

`text{Dễ dàng chứng minh được ΔADF = ΔFDC (góc - cạnh - góc)}`

`-> AF = EC` `text{(2 cạnh tương ứng)}`

`text{Ta có : BF = AB + AF, BC = BE + EC}`

`text{mà BA = BE, AF = EC}`

`-> BF = BC`

`-> ΔFBC cân tại B`

`-> hat{BFC} = hat{BCF} =(180^o - hat{B})/2 (1)`

$\\$

`text{Ta có : BA = BE (chứng minh trên)}`

`-> ΔABE` `text{cân tại B}`

`-> hat{BAE} = hat{BEA} = (180^o - hat{B})/2 (2)`

$\\$

`text{Từ (1) và (2)}`

`-> hat{BAE} = hat{BFC}`

`text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị}`

`-> text{AE//FC}`

`text{mà BG⊥AE}`

`-> text{BG⊥FC}`

`->` `text{BG là đường cao của ΔFBC}`

`->` `text{BG đi qau D}`

`->` `text{B,D,G thẳng hàng}`