Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AFC, \Delta ABE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AFC}=\widehat{AEB}(=90^o)$

$\to\Delta ABE\sim\Delta ACF(g.g)$

b. Từ câu a $\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}\to AE.BC=AB.EF$

c.Ta có $AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=13$

Từ câu b

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AB})^2=\dfrac{25}{169}$

d.Tương tự câu b chứng minh được:

$\Delta HBF\sim\Delta ABC, \Delta HEC\sim\Delta ABC$

$\to \widehat{FHB}=\widehat{BAC}=\widehat{EHC}$

$\to 90^o-\widehat{FHB}=90^o-\widehat{EHC}$

$\to \widehat{FDM}=\widehat{MHE}$

$\to HM$ là phân giác $\widehat{EHF}$

Mà $HM\perp NH$

$\to HN$ là phân giác ngoài đỉnh $H$ của $\Delta HEF$

$\to \dfrac{ME}{MF}=\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{NE}{NF}$

$\to ME.NF=NE.MF$