Đáp án: $b)PQ=12,5cm$

              $S_{MFQ}=24cm^2$

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nhé

$a)$ Do tứ giác $MNPQ$ là hình thang vuông tại $M;Q$

$⇒MN//PQ⇒∠MNQ=∠NQP(2$ góc so le trong)

Do tứ giác $MNPQ$ là hình thang vuông tại $M⇒∠NMQ=90^o$

Ta có: $NQ⊥NP⇒∠PNQ=90^o$

Xét $ΔMNQ$ và $ΔNQP$ có:

$∠QMN=∠PNQ=90^o$

$∠MNQ=∠NQP(cmt)$

$⇒ΔMNQᔕΔNQP$ (góc - góc) (đpcm)

$b)$ Xét $ΔMNQ$ vuông tại $M$

$⇒NQ^2=MN^2+MQ^2$ (định lí Pytago)

$⇒NQ^2=8^2+6^2=100$

$⇒NQ=10cm$ (do $NQ>0$)

Do $ΔMNQᔕΔNQP$ (câu a)

`⇒\frac{MN}{NQ}=\frac{NQ}{QP}`

`⇒QP=\frac{NQ^2}{MN}=\frac{10^2}{8}=12,5(cm)`

$c)$ Xét $ΔFQP$ có $MN//PQ$

`⇒\frac{MN}{PQ}=\frac{NF}{QF}` (hệ quả định lí Ta-lét)

`⇒\frac{NF}{QF}=\frac{8}{12,5}=\frac{16}{25}`

`⇒\frac{NF}{QF}+1=\frac{16}{25}+1⇒\frac{QN}{QF}=\frac{41}{25}`

`⇒\frac{QF}{QN}=\frac{25}{41}`

Xét $ΔNPQ$ vuông tại $N$

$⇒PQ^2=NQ^2+NP^2$ (định lí Pytago)

$⇒12,5^2=10^2+NP^2$

$⇒NP^2=56,25$

$⇒NP=7,5(cm)$ (do $NP>0$)

Do $ΔMNQ$ và $ΔNPQ$ không có điểm chung

$⇒S_{MNPQ}=S_{MNQ}+S_{NPQ}$

`=\frac{MN.MQ}{2}+\frac{NQ.NP}{2}=\frac{8.6}{2}+\frac{10.7,5}{2}=61,5(cm^2)`

Ta có:

`\frac{S_{MQF}}{S_{MQN}}=\frac{QF}{QN}` (chung chiều cao hạ từ $M$)

`\frac{S_{MQN}}{S_{MQPN}}=\frac{MN}{QP}` (chiều cao là đường cao hình thang)

`⇒\frac{S_{MQF}}{S_{MQN}}.\frac{S_{MQN}}{S_{MQPN}}=\frac{QF}{QN}.\frac{MN}{QP}`

`⇒S_{MQF}=\frac{QF}{QN}.\frac{MN.S_{MNPQ}}{QP}=\frac{25}{41}.\frac{8.61,5}{12,5}=24(cm^2)`