Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABC,\Delta ADC$ có:

Chung $AC$

$\widehat{BAC}=\widehat{DAC}(=90^o)$

$AB=AD$ vì $A$ là trung điểm $BD$

$\to \Delta ABC=\Delta ADC(c.g.c)$

$\to \widehat{ACB}=\widehat{ACD}$

$\to CA$ là phân giác $\widehat{BCD}$

 b.Xét $\Delta IEC,\Delta IFC$ có:

$\widehat{IEC}=\widehat{IFC}(=90^o)$

Chung $IC$

$\widehat{ICE}=\widehat{ICF}$ vì $\widehat{ACB}=\widehat{DCA}$

$\to \Delta ICE=\Delta ICF$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to CE=CF$

$\to \Delta CEF$ cân tại $C$

Từ câu a $\to CB=CD\to \Delta CBD$ cân tại $C$

$\to \widehat{CEF}=90^o-\dfrac12\widehat{ECF}=90^o-\dfrac12\widehat{DCB}=\widehat{BDC}$

$\to EF//BD$

c.Ta có: $IF\perp BC\to IF<IB$

   Từ câu b $\to IE=IF$

$\to IE<IB$

d.Để $\Delta BEF$ cân tại $F$

$\to \widehat{FEB}=\widehat{FBE}$

$\to \widehat{FEC}=90^o-\widehat{FEB}=90^o-\widehat{FBE}=\widehat{FCE}$

$\to \Delta FEC$ cân tại $F$

$\to FE=FC$

Mặt khác $\Delta FBE$ cân tại $F\to FE=FB$

$\to FB=FC$

$\to F$ là trung điểm $BC$

$\to IF\perp BC$ tại trung điểm $BC\to IF$ là trung trực $BC$

Ta có: $BE\perp CD, CA\perp BD, BE\cap CA=I\to I$ là trực tâm $\Delta BCD\to DI\perp BC$

Mà $IF\perp BC$

$\to D, I, F$ thẳng hàng

$\to D\in$ trung trực $BC\to DB=DC$

$\to CB=CD=DB$

$\to \Delta BCD$ đều

$\to \widehat{ABC}=\widehat{DBC}=60^o$