Lời giải:

Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $M$ sao cho $DA = DM$

$\Rightarrow AM = 2AD$

Xét $\triangle DAB$ và $\triangle DMC$ có:

$\begin{cases}DA = DM\qquad\ \text{(cách dựng)}\\\widehat{ADB} = \widehat{MDC}\quad \text{(đối đỉnh)}\\BD = DC = \dfrac12BC\quad (gt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle DAB = \triangle DMC\ (c.g.c)$

$\Rightarrow AB = CM$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle ACM$ luôn có:

$\quad AM < AC + CM$ (bất đẳng thức tam giác)

$\Leftrightarrow 2AD < AC + AB$

$\Leftrightarrow AD < \dfrac{AB+AC}{2}$

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:

$BE < \dfrac{AB+BC}{2}$

$CF < \dfrac{BC+AC}{2}$

Cộng vế theo vế ta được:

$AD + BE + CF < AB + BC + AC\qquad (1)$

Gọi $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$

$\Rightarrow \begin{cases}AG = \dfrac23AD\\BG = \dfrac23BE\\CG = \dfrac23CF\end{cases}$ (tính chất trọng tâm)

Xét $\triangle ABG$ luôn có:

$\quad AB < AG + BG$ (bất đẳng thức tam giác)

$\Leftrightarrow AB < \dfrac23AD + \dfrac23BE$

$\Leftrightarrow \dfrac32AB < AD + BE$

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:

$\dfrac32BC < BE + CF$

$\dfrac32AC < AD + CF$

Cộng vế theo vế ta được:

$\quad\dfrac32(AB + BC + AC) < 2(AD + BE + CF)$

$\Leftrightarrow \dfrac34(AB + BC + AC)< AD + BE + CF\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow \dfrac34(AB + BC + AC)< AD + BE + CF < AB + BC + AC$