a)

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Định lý Pytago)

$\to {{11}^{2}}=A{{B}^{2}}+{{7}^{2}}$

$\to A{{B}^{2}}={{11}^{2}}-{{7}^{2}}=72$

$\to AB=6\sqrt{2}cm$

b)

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ và $\Delta KBE$ vuông tại $E$, ta có:

+   $BE$ là cạnh chung

+   $\widehat{ABE}=\widehat{KBE}$

$\to \Delta ABE=\Delta KBE$

$\to AB=KB$

Lại có $\widehat{ABC}=90{}^\circ -\widehat{ACB}=60{}^\circ $

$\to \Delta ABK$ là tam giác đều

c)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta KBD$, ta có:

+   $AB=KB$

+   $\widehat{ABD}=\widehat{KBD}$

+   $BD$ là cạnh chung

$\to \Delta ABD=\Delta KBD$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{BKD}=90{}^\circ $

$\to DK\bot BC$

Ta có $\widehat{DBC}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}=30{}^\circ =\widehat{DCB}$

$\to \Delta DBC$ cân tại $D$

Có $DK$ là đường cao

$\to DK$ cũng là đường trung trực

$\to DK$ là đường trung trực của $BC$

d)

Vì $\Delta ABD=\Delta KBD$

$\to DA=DK$

Mà $DA<DP$ (vì $\Delta ADP$ vuông tại $A$)

$\to DK<DP$

e)

Vì $DA=DK\to \Delta DAK$ cân tại $D$

$\to \widehat{DAK}=\widehat{DKA}$

Ta có $AH//DK$ (cùng vuông góc $BC$)

$\to \widehat{HAK}=\widehat{DKA}$ (so le trong)

$\to \widehat{DAK}=\widehat{HAK}$

$\to AK$ là tia phân giác $\widehat{HAC}$

f)

Xét $\Delta ABK$ có $AH,BE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$

$\to I$ là trực tâm của $\Delta ABK$

$\to KI\bot AB$

$\to KI//AC$