Giải thích các bước giải:

a.Vì BD là tiếp tuyến của (O),H là trung điểm BC

$\rightarrow DB\perp OB\rightarrow \widehat{DBO}=\widehat{DHB}=90^o$

$\rightarrow \Delta DBH\sim\Delta DOB(g.g)$

$\rightarrow \dfrac{DB}{DO}=\dfrac{DH}{DB}$

$\rightarrow DH.DO=BD^2$

b.Vì $OD\perp BC=H$ là trung điểm của BC

$\rightarrow B,C$ đối xứng nhau qua OD

$\rightarrow \widehat{DCO}=\widehat{DBO}=90^o\rightarrow DC$ là tiếp tuyến của (O)

c.Vì M là trung điểm AE

$\rightarrow \widehat{DMO}=\widehat{DCO}=\widehat{DBO}=90^o$

$\rightarrow D,C,M,O,B$ thuộc đường tròn đường kính OD

d.Gọi $AH\cap BI=F'$

Ta có $\Delta CAB\sim\Delta HBD(g.g)$

Vì H,I là trung điểm BC,HC

$\rightarrow\Delta CAH\sim\Delta HBI$

$\rightarrow \widehat{CAH}=\widehat{IBH}=\widehat{F'BH}\rightarrow\Diamond CAF'B  $ nội tiếp

$\rightarrow \widehat{AF'B}=\widehat{ACB}=90^o\rightarrow F'\in (O)\rightarrow F'=BI\cap (O)$

$\rightarrow F\equiv F'\rightarrow A,F,H$ thẳng hàng