Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Giải:
a/

`AB = AC`

`=> ΔABC` cân tại `A`

Xét `ΔABM` và `ΔACM` ta có:
`AB = AC` (gt)

`hat{B} = hat{C}` (gt)

`hat{BAM} = hat{CAM}` (gt)

`=> ΔABM`  = ΔACM` (g-c-g)

`=> BM = CM` (cạnh tương ứng)

`=> M` là trung điểm của `BC` (đfcm)

b/ Ta có:
`AE = AF` mà `AB = AC`

`=> BE = CF`

Xét `ΔBCE` và `ΔCBF` ta có:
`BE = CF` (cmt)

`hat{B} = hat{C}` (gt)

`BC` chung

`=> ΔBCE = ΔCBF` (c-g-c) (đfcm)

c) Ta có:

`ΔBCE = ΔCBF`

`=> CE = BF` (cạnh tương ứng) và `hat{BCE} = hat{CBF}` (góc tương ứng)
Xét `ΔBFM` và `ΔCEM` ta có:
`CE = BF` (cmt)

`hat{MCE} = hat{MBF}` (cmt)

`BM = CM` (cmt)

`=> ΔBFM = ΔCEM` (c-g-c)

`=> ME = MF` (cạnh tương ứng) (đfcm)

d/

Ta có :

`AE = AF` 

`=> ΔAEF` cân tại `A`

Mà `N` là trung điểm của `EF`

`=> AN` là đường trung tuyến của `EF`

`=> AN` là đường trung trực của `EF` (1)

`ME = MF` 

`=> ΔMFE` cân tại `M`

Mà `N` là trung điểm của `EF`

`=> MN` là đường trung tuyến của `EF`

`=> MN` là đường trung trực của `EF` (2)

Từ (1) và (2)

`=> A,M,N` thẳng hàng (đfcm)

Đáp án:

a) Tia phân giác của $\widehat{BAC}\cap BC=M$

$\Rightarrow AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

$\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$.

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$AB=AC$ (giả thiết).

$\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$ (chứng minh trên).

$AM$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow BM=CM$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$.

b) $AE=AF$ mà $AB=AC$

$\Rightarrow AE+AB=AF+AC\Rightarrow BE=CF$.

$AB=AC\Rightarrow\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (hai góc đáy bằng nhau).

Mà $A\in BE\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{EBC}$

Và $A\in CF\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{BCF}$

Do $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{BCF}$.

Xét hai tam giác $\Delta BCE$ và $\Delta CBF$ có:

$BE=CF$ (chứng minh trên).

$\widehat{EBC}=\widehat{BCF}$ (chứng minh trên).

$BC$ là cạnh chung

$\Rightarrow\Delta BCE=\Delta CBF$ (cạnh-góc-cạnh).

c) $\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$ mà $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{BAF}=\widehat{MAC}+\widehat{CAE}$

$\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{MAE}$.

Xét hai tam giác $\Delta AMF$ và $\Delta AME$ có:

$AE=AF$ (giả thiết).

$\widehat{MAF}=\widehat{MAE}$ (chứng minh trên).

$AM$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta AMF=\Delta AME$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow ME=MF$ (hai cạnh tương ứng).

d) Xét hai tam giác $\Delta ANE$ và $\Delta ANF$ có:

$AE=AF$ (giả thiết).

$NE=EF$ ($N$ là trung điểm của $EF$).

$AN$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ANE=\Delta ANF$ (cạnh-cạnh-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{NAF}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AN$ là tia phân giác của $\widehat{EAF}$
$\Rightarrow\widehat{NAE}=\dfrac{\widehat{EAF}}2$.
Ta có $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$ (cặp góc đối đỉnh).

Mà $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow\widehat{BAM}=\dfrac{\widehat{BAC}}2$.
$\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{BAM}$ (do $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$)

Hai góc này có chung gốc $A$ và $AB$ là tia đối của $AE$

$\Rightarrow\widehat{EAF}$ và $\widehat{BAC}$ đối đỉnh).

$\Rightarrow AM$ là tia đối của $AN\Rightarrow A,M,N$ thẳng hàng.