a, Xét (O), đường kính BC có:

+ D ∈ (O) ⇒ $\widehat{BDC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BD ⊥ AC ⇒ HD ⊥ AC ⇒ $\widehat{HDC}=\widehat{HDA}=90°$

+ E ∈ (O) ⇒ $\widehat{BEC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ CE ⊥ AB ⇒ HE ⊥ AB ⇒ $\widehat{HEB}=\widehat{HEA}=90°$

Xét tứ giác ADEH có: $\widehat{HDA}+\widehat{HEA}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ADEH nội tiếp đường tròn đường kính AH

b, Xét ΔABC có: 

BD ⊥ AC (cmt)

CE ⊥ AB (cmt)

BD cắt CE tại H

⇒ H là trực tâm của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

Mà AF ⊥ BC (gt)

⇒ AH ≡ AF

⇒ Ba điểm A, H, F thẳng hàng

c, Gọi K là giao điểm của DI và BC

AF ⊥ BC (gt) ⇒ HF ⊥ BC ⇒ $\widehat{HFB}=\widehat{HFC}=90°$

Xét tứ giác BEHF có: $\widehat{HFB}+\widehat{HEB}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác BEHF nội tiếp đường tròn đường kính BH

⇒ $\widehat{HBF}=\widehat{HEF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{HF}$)

Hay $\widehat{DBC}=\widehat{CEI}$

Xét (O) có: $\widehat{DBC}=\widehat{DEC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{DC}$)

⇒ $\widehat{CEI}=\widehat{DEC}$

Xét (O) có:

$\widehat{DEC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{DC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{DC}$)  

$\widehat{CEI}=\frac{1}{2}sđ\overparen{CI}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{CI}$) 

$\widehat{CEI}=\widehat{DEC}$ (cmt)

⇒ $\overparen{DC}=\overparen{CI}$ ⇒ C là điểm nằm chính giữa $\overparen{DI}$

Xét (O) có:

BC là đường kính

C là điểm nằm chính giữa $\overparen{DI}$ (cmt)

⇒ B là điểm nằm chính giữa $\overparen{DI}$

⇒ $\overparen{BD}=\overparen{BI}$

Xét (O) có: 

$\widehat{DCB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{DB}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{DB}$)  

$\widehat{BCI}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BI}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BI}$) 

$\overparen{BD}=\overparen{BI}$ (cmt)

⇒ $\widehat{DCB}=\widehat{BCI}$ Hay $\widehat{DCK}=\widehat{ICK}$

Có $\overparen{DC}=\overparen{CI}$ (cmt) ⇒ DC = CI

Xét ΔDKC và ΔIKC có:

DC = CI (cmt)

$\widehat{DCK}=\widehat{ICK}$ (cmt)

CK: cạnh chung

⇒ ΔDKC = ΔIKC (c.g.c)

⇒ $\widehat{DKC}=\widehat{CKI}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{DKC}+\widehat{CKI}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒  $\widehat{DKC}=\widehat{CKI}=\frac{180°}{2}=90°$

⇒ DI ⊥ BC

Mà AF ⊥ BC (gt)

⇒ DI // AF (từ vuông góc đến song song)