Bài 1: Xem ảnh đính kèm.

$a.$

+ Xét $∆ABC$ và $∆HBA$, ta có: 

$\left \{ {{\widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90° \ (AH ⊥ BC)} \atop {\widehat{ABC} = \widehat{HBA} \ (góc \ chung)}} \right. ⇒ ∆ABC ᔕ ∆HBA$ (g.g).

$b.$ 

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 

$AB^{2} = \sqrt {BH.BC} = \sqrt {4.13} = 2\sqrt {13} \ (cm)$.

$⇒ AB = 2\sqrt {13} \ cm$.

+ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $ABH$, ta có: 

$AH^{2} = \sqrt {AB^{2} - BH^{2}} = \sqrt { (2\sqrt {13})^{2} - 4^{2}} = 6 \ (cm)$.

$⇒ AH = 6 \ cm$.

$c.$

+ Ta có: $\widehat{BAH} + \widehat{AHF} = 90°$ $(\widehat{A} = 90°)$.

               $\widehat{HCA} + \widehat{HAC} = 90°$ $(\widehat{AHC} = 90°)$.

$⇒ \widehat{BAH} = \widehat{HCA}$.

+ Ta có: $\widehat{EHA} + \widehat{AHF} = 90°$ $(EH ⊥ HF)$.

               $\widehat{CHF} + \widehat{AHF} = 90°$ $(AH ⊥ HC)$.

$⇒ \widehat{EHA} = \widehat{CHF}$.

+ Xét $∆AHE$ và $∆CHF$, ta có: 

$\widehat{EHA} = \widehat{FCH}$ (cmt).

$\widehat{EHA} = \widehat{CHF}$ (cmt).

$⇒ ∆EHA ᔕ ∆CHF$.

$⇒ \dfrac {AE}{FC} = \dfrac {AH}{CH}$

$⇒ AE.CH = AH.FC$ (đpcm).

Bài 2: 

+ Gọi số sản phẩm là $x \ (x > 0)$.

+ Số sản phẩm sản xuất thực tế $x + 20$.

+ Số tuần sản xuất theo kế họach $\dfrac {x}{30}$.

+ Số tuần sản xuất theo thực tế: 

$\dfrac {x + 20}{30 + 10} = \dfrac {x + 20}{40}$ (tuần).

+ Theo đề bài, ta có: 

$\dfrac {x}{30} - \dfrac {x + 20}{40} = 3$

$⇔ 40x - 30(x + 20) = 3.30.10$

$⇔ 40x - 30x - 600 = 3600$

$⇔ 10x = 4200$

$⇔ x = 420$. 

+ Vậy: Theo kế hoạch đội phải sản xuất $420$ sản phẩm.