Đáp án: $a)$ Hình vuông

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nhé

$1)$ Do $CB$ là tiếp tuyến $(A)⇒CB⊥AB⇒∠ABC=90^o$

        Do $CD$ là tiếp tuyến $(A)⇒CD⊥AD⇒∠ADC=90^o$

Xét tứ giác $ABCD$ có $∠BAD=∠ABC=∠ADC=90^o$

$⇒$ Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật (Tứ giác có $3$ góc vuông)

Xét hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=AD=R$

$⇒$ Hình chữ nhật $ABCD$ là hình vuông (Hình chữ nhật có $2$ cạnh kề bằng nhau)

$2)$ Do $MB;MH$ là tiếp tuyến $(A)$

$⇒AM$ là phân giác $∠BAH$

$⇒∠BAM=∠HAM=\dfrac{1}{2}∠BAH$

Do $ND;NH$ là tiếp tuyến $(A)$

$⇒AN$ là phân giác $∠DAH$

$⇒∠DAN=∠HAN=\dfrac{1}{2}∠DAH$

Ta có: $∠MAN=∠MAH+∠NAH=\dfrac{1}{2}∠BAH+\dfrac{1}{2}∠DAH$

$=\dfrac{1}{2}∠DAB=\dfrac{1}{2}.90^0=45^o(đpcm)$

$3)$ Ta sẽ chứng minh $NP$ là đường cao $ΔAMN,$ còn $MQ$ thì ta chứng minh tương tự

Do tứ giác $ABCD$ là hình vuông

$⇒BD$ là phân giác $∠ABC$

`⇒∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{90^o}{2}=45^o`

Do $MB;MH$ là tiếp tuyến $(A)$

$⇒AM$ là đường trung trực $BH$

$⇒PB=PH;BM=HM$ (tính chất đường trung trực $1$ đoạn thẳng)

Xét $ΔBPM$ và $ΔHPM$ có:

$BP=HP(cmt)$

$PM$ chung

$BM=HM(cmt)$

$⇒ΔBPM=ΔHPM$ (cạnh - góc - cạnh)

$⇒∠PBM=∠PHM=45^o$ ($2$ góc tương ứng)

Xét $ΔMPH$ và $ΔMNA$ có:

$∠AMN$ chung

$∠MHP=∠MAN=45^o$

$⇒ΔMPHᔕΔMNA$ (góc - góc)

$⇒\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{MH}{MA}⇒\dfrac{MP}{MH}=\dfrac{MN}{MA}$

Xét $ΔMPN$ và $ΔMHA$ có:

$∠MAN$ chung

$\dfrac{MP}{MH}=\dfrac{MN}{MA}(cmt)$

$⇒ΔMPNᔕΔMHA$ (cạnh - góc -cạnh)

$⇒∠MPN=∠MHA=90^0$ ($2$ góc tương ứng)

$⇒NP⊥MA⇒NP$ là đường cao $ΔAMN(đpcm)$

Chứng minh tương tự, ta được: $MQ$ là đường cao $ΔAMN$