`a)`$BC$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>BC`$\perp AB$

`=>∆ABC` vuông tại $B$

`=>\hat{ACB}+\hat{BAC}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{MCD}+\hat{BAM}=90°` $(1)$

Ta có:

`\hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>∆AMB` vuông tại $M$

`=>\hat{ABM}+\hat{BAM}=90°` (hai góc phụ nhau)

Mà `\hat{ANM}=\hat{ABM}` (cùng chắn cung $AM$)

`=>\hat{ANM}+\hat{BAM}=90°` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>\hat{ANM}=hat{MCD}`

`=>MNDC` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`b)` Ta có:

`\qquad \hat{ANB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>BN`$\perp AN$

Xét $∆ABD$ vuông tại $B$ (do $BC$ là tiếp tuyến tại $B$)

`=>AB^2=AN.AD` (hệ thức lượng) 

`=>(2R)^2=4R^2=AN.AD` $(3)$

$\\$

Xét $∆ANM$ và $∆ACD$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ANM}=\hat{ACD}` (câu a)

`=>∆ANM∽∆ACD` (g-g)

`=>{AN}/{AC}={AM}/{AD}`

`=>AM.AC=AN.AD` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>AM.AC=AN.AD=4R^2`

$\\$

`c)` Sửa đề c/m: $BK=BD$

Vì $N$ là điểm chính giữa cung $MB$ (gt)

`=>\stackrel\frown{MN}=\stackrel\frown{BN}`

$\\$

`\qquad \hat{DBN}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BN}` (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

`\qquad\hat{MBN}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MN}` (góc nội tiếp chắn cung $MN$)

`=>\hat{DBN}=\hat{MBN}`

`=>BN` là phân giác của `\hat{MBD}`

`=>BN` là phân giác của $∆KBD$

Vì $BN\perp DK$(do $BN\perp AN$ câu b)

`=>BN` vừa là đường cao và phân giác $∆KBD$

`=>∆KBD` cân tại $B$

`=>BK=BD`

$\\$

`d)` Nếu $M$ nằm chính giữa cung $AB$

`=>\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{BM}`

`=>AM=BM` (liên hệ dây và cung)

`=>∆ABM` cân tại $M$

Mà `\hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>∆ABM` vuông cân tại $M$

`=>\hat{ABM}=\hat{BAM}=45°`

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $B$ có `\qquad \hat{BAC}=\hat{BAM}=45°`

`=>∆ABC` vuông cân tại $B$

`=>\hat{ACB}=45°`

`\qquad BC=AB=2R`

`\qquad S_{∆ABC}=1/ 2 AB.BC=1/ 2 .2R.2R=2R^2`

$\\$

$\quad N$ là điểm chính giữa cung $BM$

`=> \stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{MN}`

`=>BN=MN` (liên hệ dây và cung)

Mà `OM=OB=R`

`=>ON` là trung trực của $MB$

`=>ON`$\perp MB$

Vì `\hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AM`$\perp MB$

`=>ON`//$AM$ $(5)$

$\\$

Xét $∆ABC$ có:

`\qquad O` là trung điểm $AB$ (do $AB$ là đường kính của $(O)$)

`\qquad I` là trung điểm $BC$ (gt)

`=>OI` là đường trung bình $∆ABC$

`=>OI`//$AC$

`=>OI`//$AM$ $(6)$

Từ `(5);(6)=>O;N;I` thẳng hàng (tiên đề Oclit)