a, AO ⊥ d (gt) ⇒ $\widehat{OAD}=\widehat{OAE}=90°$

Xét (O) có: EC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm

⇒ OC ⊥ EC ⇒ $\widehat{OCE}=90°$ Hay $\widehat{OCM}=90°$

Xét tứ giác AOCE có: $\widehat{OCE}+\widehat{OAE}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AOCE nội tiếp đường tròn đường kính OE

b, Tứ giác AOCE nội tiếp đường tròn đường kính OE (cmt)

⇒ $\widehat{CEO}=\widehat{CAO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{CO}$)

Hay $\widehat{CEN}=\widehat{BAF}$

Xét (O), có: DM là tiếp tuyến, B là tiếp điểm

⇒ OB ⊥ DM ⇒ $\widehat{OBM}=\widehat{OBD}=90°$

Xét tứ giác MBOC có: $\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn đường kính OM

⇒ $\widehat{MOB}=\widehat{MCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{MB}$)

Hay $\widehat{MOB}=\widehat{ECA}$

Xét (O) có:

DM, CE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

B, C là hai hai tiếp điểm

⇒ OM là phân giác $\widehat{BOC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$

Mà $\widehat{MOB}=\widehat{ECA}$

⇒ $\widehat{MOC}=\widehat{ECA}$

Tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn đường kính OM (cmt)

⇒ $\widehat{MOC}=\widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{MB}$)

Mà $\widehat{MOC}=\widehat{ECA}$

⇒ $\widehat{MBC}=\widehat{ECA}$

Mà $\widehat{MBC}=\widehat{ABF}$ (hai góc đối đỉnh)

⇒ $\widehat{ABF}=\widehat{ECA}$

Hay $\widehat{ABF}=\widehat{ECN}$

Xét ΔABF và ΔECN có:

$\widehat{ABF}=\widehat{ECN}$ (cmt)

$\widehat{BAF}=\widehat{CEN}$ (cmt)

⇒ ΔABF ~ ΔECN (g.g)

⇒ $\frac{AB}{EC}=\frac{AF}{EN}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AB.EN = AF.EC

c, Xét tứ giác ABOD có: $\widehat{OBD}=\widehat{OAD}=90°$

Hai điểm B và A cùng nhìn OD dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác ABOD nội tiếp đường tròn đường kính OD

⇒ $\widehat{ADO}+\widehat{ABO}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Hay $\widehat{EDO}+\widehat{ABO}=180°$ 

Mà $\widehat{CBO}+\widehat{ABO}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{EDO}=\widehat{CBO}$

Tứ giác AOCE nội tiếp đường tròn đường kính OE (cmt)

⇒ $\widehat{AEO}=\widehat{ACO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AO}$)

Hay $\widehat{DEO}=\widehat{BCO}$

Xét (O) có: OB = OC =R

Xét ΔOBC có: OB = OC (cmt)

⇒ ΔOBC cân tại O

⇒ $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$

Mà $\widehat{DEO}=\widehat{BCO}$ (cmt), $\widehat{EDO}=\widehat{CBO}$ (cmt)

⇒ $\widehat{EDO}=\widehat{DEO}$

Xét ΔODE có: $\widehat{EDO}=\widehat{DEO}$ (cmt)

⇒ ΔODE cân tại O

Mà OA ⊥ DE (gt)

⇒ OA là trung tuyến

⇒ A là trung điểm của DE