Đáp án:

a) Xét hai tam giác $\rm vuông$ $\Delta CAH$ và $\Delta CKH$ có:

$AH=HK$ ($H$ là trung điểm của $AK$).

$HC$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta CAH=\Delta CKH$ (cạnh-góc-cạnh).

b) $\Delta CAH=\Delta CKH$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow AC=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác $\Delta ACE$ và $\Delta BDE$ có:

$BE=CE$ ($E$ là trung điểm của $BC$).

$\widehat{AEC}=\widehat{BED}$ (cặp góc đối đỉnh).

$EA=ED$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta ACE=\Delta BDE$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow AC=DB$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AC=CK$ nên $CK=DB$.

c) Xét hai tam giác vuông $\Delta AHE$ và $\Delta HKE$ có:

$AH=HK$ (chứng minh trên). 

$HE$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta AHE=\Delta HKE$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{HEK}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow EH$ là tia phân giác của $\widehat{AEK}$.

$AH$ là đường cao của $\Delta ABC$

$\Rightarrow AH\,\bot\,BC\Rightarrow AK\,\bot\,BC$ ($H\in AK$).

$\Delta AHE=\Delta HKE$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow AE=KE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta AKE$ cân tại $E$ (hai cạnh bên bằng nhau).
$\Rightarrow\widehat{EAK}=\widehat{AKE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{AEK}}2$.
$AE=KE$ mà $AE=DE$ nên $DE=KE$

$\Rightarrow\Delta DKE$ cân tại $E$ (hai cạnh bên bằng nhau).
$\Rightarrow\widehat{DKE}=\widehat{KDE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{DEK}}2$.
$\Rightarrow\widehat{AKE}+\widehat{DKE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{AEK}}2+\dfrac{180^\circ-\widehat{DEK}}2$
$\Rightarrow\widehat{AKD}=\dfrac{180^\circ-\widehat{AEK}+180^\circ-\widehat{DEK}}2$
$\Rightarrow\widehat{AKD}=\dfrac{360^\circ-(\widehat{AEK}+\widehat{DEK})}2$
$\Rightarrow\widehat{AKD}=\dfrac{360^\circ-180^\circ}2$ ($\widehat{AEK}$ kề bù với $\widehat{DEK}$)
$\Rightarrow\widehat{AKD}=90^\circ\Rightarrow AK\,\bot\,KD$ mà $AK\,\bot\,BC$ 

$\Rightarrow KD//BC$ (từ vuông góc đến song song).