Đáp án:

a) Tia phân giác của $\widehat{BAC}\cap BC=E$

$\Rightarrow BE$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

$\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{EAC}$ mà $K\in AB$

$\Rightarrow\widehat{KAE}=\widehat{BAE}\Rightarrow\widehat{KAE}=\widehat{EAC}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta AKE$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat{KAE}=\widehat{EAC}$ (chứng minh trên).

$AE$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta AKE=\Delta ACE$ (cạnh huyền-góc nhọn).

$AC=AK$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta ACK$ cân tại $A$ (hai cạnh bên bằng nhau).
$\Rightarrow\widehat{ACK}=\widehat{AKC}=\dfrac{180^\circ-\widehat A}2$
$\Rightarrow\widehat{ACK}=\widehat{AKC}=\dfrac{180^\circ-60^\circ}2=60^\circ$
$\Rightarrow  \widehat{ACK}=\widehat{AKC}=\widehat{CAK}$

$\Rightarrow\Delta ACK$ đều (ba góc bằng nhau).

$\Rightarrow AC=AK=CK$ (ba cạnh bằng nhau).

Ta có $\widehat{BCK}=30^\circ$ (cùng phụ $\widehat{ACK}=60^\circ$).

$\Delta ABC$ vuông tại $C$ (giả thiết).

$\Rightarrow\widehat{KBC}+\widehat{CAK}=90^\circ$ (tổng hai góc nhọn).

$\Rightarrow\widehat{KBC}+60^\circ=90^\circ\Rightarrow\widehat{KBC}=30^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BCK}=\widehat{KBC}=30^\circ$

$\Rightarrow\Delta BCK$ cân tại $K$ (hai góc đáy bằng nhau).

$\Rightarrow KB=CK$ (hai cạnh bên bằng nhau).

Mà $AK=CK$ nên $AK=KB$.

b) $AE$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow\widehat{BAE}=\dfrac{\widehat{BAC}}2=\dfrac{60^\circ}2=30^\circ$
Mà $E\in AD\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BAE}=30^\circ$.

$\Rightarrow\widehat{BCK}=30^\circ$ mà $K\in AB$

$\Rightarrow\widehat{BCK}=\widehat{ACB}=30^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{BAD}=30^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta ABD$ có:

$\widehat{ACB}=\widehat{BAD}$ (chứng minh trên).

$AB$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABC=\Delta ABD$ (cạnh huyền-góc nhọn).

$\Rightarrow AD=BC$ (hai cạnh tương ứng).