Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras đảo ta có:

$BC^2=5^2=25$

$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25$

$\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow\Delta ABC$ là tam giác vuông.

b) $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ($AH\,\bot\,BC$).

$\Rightarrow AB^2=AH^2+BH^2$ (định lý Pythagoras).

$\Delta ACH$ vuông tại $H$ ($AH\,\bot\,BC$).

$\Rightarrow AC^2=AH^2+HC^2$ (định lý Pythagoras).

Vì $AB<AC$ ($3<4$) $\Rightarrow AB^2<AC^2$

$\Rightarrow AH^2+BH^2<AH^2+HC^2$

$\Rightarrow BH^2<HC^2$ (bỏ $AH^2$ cùng ở hai vế).

$\Rightarrow BH<HC$.

$AH$ là đường cao của $\Delta ABC$

Mà $M\in AH\Rightarrow MH$ là đường cao của $\Delta ABC$.

$\Delta BMH$ vuông tại $H$ ($MH\,\bot\, BC$).

$\Rightarrow MB^2=BH^2+HM^2$

$\Rightarrow BH^2=MB^2-HM^2$ (định lý Pythagoras).

$\Delta CMH$ vuông tại $H$ ($MH\,\bot\,BC$).

$\Rightarrow MC^2=HC^2+HM^2$

$\Rightarrow HC^2=MC^2-HM^2$ (định lý Pythagoras).

Mà $BH^2<HC^2$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow MB^2-HM^2<MC^2-HM^2$

$\Rightarrow MB^2<MC^2$ (bỏ $HM^2$ cùng ở hai vế).

$\Rightarrow MB<MC$.