$\text{a) Áp dụng định lý Py - ta - go cho ΔABC, ta có:}$

     `AB^2 + AC^2 = BC^2`

$\text{Hay:}$ `6^2 + AC^2 = 10^2`

 `-> AC^2 = 10^2 - 6^2 = 64`

`-> AC =` $\sqrt{64}$ `= 8 (cm)`

$\text{Có: AB < AC < BC (6cm < 8cm < 10cm)}$

$\text{Mà AB là cạnh đối diện góc}$ `hat{C};` $\text{AC là cạnh đối diện góc}$ `hat{B};`

$\text{BC là cạnh đối diện góc}$ `hat{A};`

`-> hat{C} < hat{B} < hat{A}`

$\text{b) Xét ΔBAC và ΔDAC, ta có:}$

   $\text{AB = AD (Vì A là trung điểm của BD)}$

   $\text{AC là cạnh chung}$

   `hat{A_1} = hat{A_2} = 90^o` 

`->` $\text{ ΔBAC = ΔDAC (c.g.c)}$

`->` $\text{BC = DC (Hai cạnh tương ứng)}$

`->` $\text{ΔBCD cân tại C}$

$\text{c) Vì A là trung điểm của BD}$

`->` $\text{CA là đường trung trực của ΔBCD hạ từ đỉnh C}$

$\text{Vì K là trung điểm của BC}$

`->` $\text{DK là đường trung trực của ΔBCD hạ từ đỉnh D}$

$\text{Mà CA ∩ DK = $\left\{M \right\}$}$

`->` $\text{M là trọng tâm của của ΔBCD }$

`->` $\text{MC =}$ `2/3`$\text{AC}$

$\text{Hay: MC =}$ `2/3 . 8 = (16)/3 (cm)`

Đáp án :

$a/$

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Pitago)

`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`

`-> AC^2 = 10^2 - 6^2`

`-> AC^2 = 8^2`

`-> AC = 8cm`

$\\$
Xét `ΔABC` có :

`AB < AC < BC` (Vì `6 < 8 < 10`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác có :

`hat{C} < hat{B} < hat{A}`

$\\$

$\\$
$b/$

Xét `ΔCAB` và `ΔCAD` có :

`DA = BA` (Vì `A` là trung điểm của `BD`)

`CA` chung

`hat{CAD} = hat{CAB}= 90^o`

`-> ΔCAB = ΔCAD (c.g.c)`

`-> CD = CB` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`-> ΔBCD` cân tại `C`

$\\$

$\\$

$c/$

Vì `K` là trung điểm của `BC`

`-> DK` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

$\\$
Vì `A` là trung điểm của `BD`

`-> CA` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

$\\$

Xét `ΔBCD` có :

`DK` là đường trung tuyến

`CA` là đường trung tuyến

`DK` cắt `AC` tại `M`

`-> M` là trọng tâm của `ΔABC`

$\\$

`-> MC = 2/3 AC`

`⇔ MC = 2/3 . 8`

`⇔ MC = 16/3cm`