`1, x^2-2x-5=0`

Với `x_1;x_2` là hai nghiệm phân biệt của pt ta có

$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=-5\end{cases}$

Ta có:

`u+v=(x_1)/(1-x_2)+(x_2)/(1-x_1)`

`u+v=(x_1(1-x_1)+x_2(1-x_2))/((1-x_1)(1-x_2))`

`u+v=(x_1-x_1^2+x_2-x_2^2)/(1-x_2-x_1+x_1.x_2)`

`u+v=((x_1+x_2)-(x_1^2+x_2^2))/(1-(x_1+x_2)+x_1.x_2)`

`u+v=((x_1+x_2)-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2)/(1-(x_1+x_2)+x_1.x_2)`

`-> u+v=(2-2^2+2.(-5))/(1-2-5)=2` (1)

`u.v=(x_1)/(1-x_2).(x_2)/(1-x_1)`

`u.v=(x_1.x_2)/((1-x_2)(1-x_1))`

`u.v=(x_1.x_2)/(1-x_1-x_2+x_1.x_2)`

`u.v=(x_1.x_2)/(1-(x_1+x_2)+x_1.x_2)`

`-> u.v=(-5)/(1-2-5)=5/6` (2)

Từ (1)(2) ta thấy u và v thỏa mãn

$\begin{cases}u+v=2\\u.v=\dfrac{5}{6}\end{cases}$

nên u và v là 2 nghiệm của pt:

`x^2-2x+5/6=0` (*)

Mà hệ số của pt nguyên nên `(`*`)-> 6x^2-12x+5=0`

Vậy pt bậc hai cần tìm là `6x^2-12x+5=0`

`2,`

Gọi hai số tự nhiên chẵn liên tiếp đó là `x` và `x+2` (`x∈N; x>0`)

Theo đề ra, ta áp dụng định lý Pytago

`x^2+(x+2)^2=(2\sqrt{5})^2`

`<=> x^2+x^2+4x+4=20`

`<=> 2x^2+4x-16=0`

`<=> x^2+2x-8=0`

`\Delta'=1^2-(-8)=9>0`

Do `\Delta'>0` nên pt có 2 nghiệm phân biệt

`x_1=-1-\sqrt{9}=-4`(ktm)

`x_2=-1+\sqrt{9}=2`(tm)

Vậy hai số cần tìm là 2 và 4.