Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

$AB=AC$

$\to\Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to HB=HC, \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

b.Xét $\Delta AHM,\Delta AHN$ có:

$\widehat{AMH}=\widehat{ANH}(=90^o)$

Chung $AH$

$\widehat{MAH}=\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\widehat{HAN}$

$\to \Delta AHM=\Delta AHN$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AM=AN$

$\to\Delta AMN$ cân tại $A$

cXét $\Delta HPB, \Delta HNC$ có:

$HP=HN$

$\widehat{BHP}=\widehat{CHN}$

$HB=HC$

$\to \Delta HBP=\Delta HCN(c.g.c)$

$\to BP=NC, HP=HN$

Từ câu b $\to HM=HN, AM=AN$

$\to MB=AB-AM=AC-AN=NC=BP, HP=HM(=HN)$

Vì $BM=BP, HM=HP$

$\to B, H\in$ trung trực $MP$

$\to BH$ là trung trực $MP$

d.Gọi $AH\cap MN=E$

Ta có $AM=AN, HM=HN\to AH$ là trung trực $MN\to AH\perp MN=E$ là trung điểm $MN$

Ta có $BH\cap MP=K, BH$ là trung trực $MN\to K$ là trung điểm $MP$

Mà $HP=HN\to H$ là trung điểm $NP$

$\to MH, NK, PE$ đồng quy tại $D$ là trọng tâm $\Delta MNP$

$\to AH, MN, DP$ đồng quy tại $E$