a, I là trung điểm của AB (gt) ⇒ AB là đường kính (I)

K là trung điểm của AC (gt) ⇒ AC là đường kính (K)

Xét (I), đường kính AB có: D ∈ (I) (gt)

⇒ $\widehat{ADB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AD ⊥ BC

Xét (K), đường kính AC có: D ∈ (K) (gt)

⇒ $\widehat{ADC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

Có $\widehat{BDC}=\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=90°+90°=180°$

⇒ $\widehat{BDC}$ là góc bẹt

⇒ Ba điểm B, C, D là góc bẹt

b, Xét (I), đường kính AB có: F ∈ (I) (gt)

⇒ $\widehat{AFB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay $\widehat{BFC}=90°$

⇒ CF ⊥ FB

Xét (K), đường kính AC có: E ∈ (K) (gt)

⇒ $\widehat{AEC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay $\widehat{BEC}=90°$

⇒ BE ⊥ EC

Có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90°$

⇒ Hai điểm F và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Hai điểm F và E cùng thuộc đường tròn đường kính BC

⇒ Bốn điểm F, E, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

c, Gọi giao điểm của BF và EC là MG

Xét ΔGBC có:

CF ⊥ GB ( CF ⊥ FB )

BE ⊥ GC ( BE ⊥ EC )

CF cắt BE tại A

⇒ A là trực tâm của ΔGBC

⇒ GA ⊥ BC

Mà AD ⊥ BC (cmt)

⇒ GA ≡ AD

⇒ Ba điểm G, A, D thẳng hàng

⇒ Ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy tại G

d, Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAEF là O

Xét tứ giác AEGF có: A, E, G, F ∈ (O) 

⇒ Tứ giác AEGF nội tiếp (O)

⇒ $\widehat{HFG}=\widehat{HEG}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{HG}$ )

Mà $\widehat{HFG}=\widehat{BFD}$ (hai góc đối đỉnh)

⇒ $\widehat{HEG}=\widehat{BFD}$

Xét (I) có: $\widehat{BFD}=\widehat{BAD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{BD}$ )

Mà $\widehat{HEG}=\widehat{BFD}$ (cmt)

⇒ $\widehat{HEG}=\widehat{BAD}$

Mà $\widehat{GAE}=\widehat{BAD}$ (hai góc đối đỉnh)

⇒ $\widehat{HEG}=\widehat{GAE}$

Xét (O) có:

$\widehat{HEG}=\frac{1}{2}sđ\overparen{HG}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{HG}$)

$\widehat{GAE}=\frac{1}{2}sđ\overparen{GE}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{GE}$)

$\widehat{HEG}=\widehat{GAE}$ (cmt)

⇒ $\overparen{HG}=\overparen{GE}$

⇒ HG = GE

Xét (O) có:

GA là đường kính

GA cắt $\overparen{HE}$

⇒ A là điểm chính giữa $\overparen{HE}$

⇒ $\overparen{HA}=\overparen{AE}$

Xét (O) có: 

$\widehat{HGA}=\frac{1}{2}sđ\overparen{HA}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{HA}$)

$\widehat{AGE}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AE}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{GE}$)

$\overparen{HA}=\overparen{AE}$ (cmt)

⇒ $\widehat{HGA}=\widehat{AGE}$

Hay $\widehat{HGD}=\widehat{DGE}$

Xét ΔHGD và ΔEGD có:

HG = GE (cmt)

$\widehat{HGD}=\widehat{DGE}$ (cmt)

GD : góc chung

⇒ ΔHGD = ΔEGD (c.g.c)

⇒ HD = ED (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)