Lời giải:

a) Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$ có:

$\begin{cases}\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ\\AB = AC\quad (gt)\\AH:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó: $\triangle AHB=\triangle AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Xét $\triangle EHD$ và $\triangle ECD$ có:

$\begin{cases}\widehat{EDH} = \widehat{EDC}=90^\circ\\DH= DC \quad (gt)\\ED:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó: $\triangle EHD=\triangle ECD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow EH = EC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle EHC$ có:

$EH = EC\quad (cmt)$

Do đó: $\triangle EHC$ cân tại $E$

c) Ta có:

$\triangle EHD=\triangle ECD$ (câu b)

$\Rightarrow \widehat{ECD} = \widehat{EHC}$ (hai góc tương ứng)

hay $\widehat{ACH} = \widehat{EHC}\qquad (1)$

Ta lại có:

$\widehat{HAC} + \widehat{ACH} = 90^\circ\qquad (2)$

$\widehat{EHA} + \widehat{EHC} = \widehat{AHC} = 90^\circ\quad (3)$

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{HAC} = \widehat{EHA}$

hay $\widehat{HAE} = \widehat{EHA}$

Xét $\triangle EAH$ có:

$\widehat{HAE} = \widehat{EHA}\quad (cmt)$

Do đó: $\triangle EAH$ cân tại $E$

$\Rightarrow EA = EH$

mà $EH = EC$ (câu b)

nên $EA = EC$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $AC$

d) Ta có: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$

$\Rightarrow BG = 2GE$ (tính chất trọng tâm)

Gọi $F$ là điểm đối xứng $G$ qua $E$

$\Rightarrow EG = EF$

$\Rightarrow BF = 4GE$

Xét $\triangle AGE$ và $\triangle CFE$ có:

$\begin{cases}EA = EC\quad \text{(câu c)}\\EG = EF\quad \text{(cách dựng)}\\\widehat{AEG} = \widehat{CEF}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle AGE = \triangle CFE\ (c.g.c)$

$\Rightarrow AG = CF$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle BCF$ luôn có:

$\quad BC + CF > BF$ (bất đẳng thức trong tam giác)

$\Leftrightarrow BC + AG > 4GE$

Đáp án:

a) Xét Δ AHB vàΔ AHC có:

AH chung

AB =AC (vì Δ ABC cân taijA theo gt)

AH ⊥ BC (vì AH là đường cao theo gt)

⇒ Δ vuông AHB= Δ vuông AHC ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)

b) Ta có : Δ AHB = Δ AHC (câu a)

⇒ ∠BAH = ∠CAH ( 2 góc tương ứng) (1)

Ta lại có: HD // AC (gt )

⇒ ∠DHA = ∠HAC (so le trong) (2)

Từ (1), (2)⇒ ∠BAH =∠ DAH ⇔ AD = DH ( theo tính chất Δ cân)

c) Ta có: Δ ABH = Δ ACH (câu a) ⇔ BH =HC (hai cạnh tương ứng)

⇒ AH là trung tuyến Δ ABC tại A ( 3)

Ta có : DH //AC ⇒ ∠DHB =∠ACB ( vì đồng vị )

mà ΔABC cân tại A(gt) ⇒ ∠ABC= ∠ACB

⇒ ∠DHB =∠DBH ⇒ DB =DH (theo tính chất Δ cân)

mà ta có AD=DH (câu b) ⇒ DA=DB

⇒ CD là trung tuyến Δ ABC tại C (4)

Từ (3), (4) , AC cắt CD tại G ⇒ G là trọng tâm Δ ABC

mà CE =EA ⇒ BE là trung tuyến Δ ABC tại B

⇒ BE qua G ⇒ B,G,E thẳng hàng

Giải thích các bước giải: