Đáp án :

$c/$
Ta có : `EM⊥AB (GT)`

Ta có : `AC⊥AB (GT)`

$→ EM//AC$

`-> hat{MAN} = hat{EMA}` (2 góc so le trong)

mà `hat{EMA} = hat{EMB}` (Vì `ΔBME = ΔAME`)

`-> hat{MAN} = hat{EMB}`

$\\$
Mặt khác : Vì $EM//AC$

`-> hat{NCM} = hat{EMB}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{MAN} = hat{EMB} `

`-> hat{NCM} = hat{MAN}`

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong 1 `Δ` cho `ΔMNA` có :

`⇔ hat{AMN} + hat{MAN} + hat{MNA} = 180^o` 

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong 1 `Δ` chó `ΔMNC` có :

`⇔ hat{CMN} + hat{NCM} + hat{MNC} = 180^o`

mà `hat{MAN} = hat{NCM} (cmt), hat{MNA} = hat{MNC} = 90^o`

`-> hat{AMN} = hat{CMN}`

$\\$

Xét `ΔAMN` và `ΔCMN` có :

`hat{AMN} = hat{CMN} (cmt)`

`hat{MNA} = hat{MNC} = 90^o`

`MN` chung

`-> ΔAMN = ΔCMN (g.c.g)`

`-> MA = MC` (2 cạnh tương ứng)

mà `MB = MA (cmt)`

`-> MB = MC`

$\\$
`-> M` là trung điểm của `BC`

`⇔ AM` là đường trung tuyến của `ΔABC`

c) Vì `ME ⊥ AB(g t)` mà `AB ⊥ AC` (`ΔABC` vuông tại A)

`⇒ ME` song song `AC`

Vì `MN ⊥ AC(g t)` mà `AB ⊥ AC` (`ΔABC` vuông tại A)

`⇒ MN` song song `AB`

Xét `ΔAME` và `ΔMAN` có:

`∠M_{2} = ∠A_{1}` (`ME` song song `AC`)

`AM` chung

`∠AEM = ∠ANM( = 90^o)`

`⇒ ΔAME = ΔMAN(ch - gn)`

`⇒ AE = MN` (cạnh tương ứng) mà `AE = BE` (`E` là trung điểm `AB`)

`⇒ BE = MN`

Xét `ΔBEM` và `ΔMNC` có:

`∠B = ∠M_{1}` (`MN` song song `AB`)

`BE = MN(c m t)`

`∠BEM = ∠MNC( = 90^o)`

`⇒ `ΔBEM = ΔMNC(g. c. g)`

`⇒ BM = MC` (cạnh tương ứng)

`⇒ M` là trung điểm của `BC`

`⇒ AM` là đường trung tuyến của `ΔABC`