a,

Gọi $x(km/h)$ là vận tốc dòng nước ($0<x<12$)

Vận tốc đi xuôi là $12+x(km/h)$ nên thời gian đi xuôi là $\dfrac{30}{12+x}(h)$

Vận tốc đi ngược là $12-x(km/h)$ nên thời gian đi ngược là $\dfrac{30}{12-x}(h)$

Tổng thời gian đi là $5h20'=\dfrac{16}{3}h$ nên ta có:

$\dfrac{30}{12+x}+\dfrac{30}{12-x}=\dfrac{16}{3}$

$\to 30(12-x)+30(12+x)=\dfrac{16}{3}(144-x^2)$

$\to x=3$ (TM)

Vậy vận tốc nước là $3km/h$

b,

Phương trình hoành độ giao $d_3, d_1$:

$x=-x+3$

$\to x=\dfrac{3}{2}$

$\to y=x=\dfrac{3}{2}$

Vậy $A\Big(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\Big)$

Phương trình hoành độ giao $d_3$, $d_2$:

$-x+3=2x$

$\to x=1$

$\to y=-x+3=2$

Vậy $B(1;2)$

$\to AB=\sqrt{(1-\dfrac{3}{2})^2+(2-\dfrac{3}{2})^2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$

Phương trình đường $AB$ là $d_3: y=-x+3$

Gọi $d$ là đường vuông góc với $AB$, đi qua $O$

$\to d: y=x$

Giao $d$ và $d_3$ là hình chiếu của $O$ trên $AB$

$d\equiv d_1\to$ đường cao tam giác $OAB$ hạ từ $O$ là $OA=\dfrac{3\sqrt2}{2}$

Vậy $S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.AB=\dfrac{3}{4}$