Giải thích các bước giải:

Bài 4:

Ta có:

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$

$\to 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\ge 0$

$\to a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Bài 5:

a.Ta có $BE\perp AC, CF\perp AB, BE\cap CF=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC$

b.Xét $\Delta AEB,\Delta AFC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}(=90^o)$

$\to \Delta ABE\sim\Delta ACF(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$

$\to AB.AF=AE.AC$

c.Xét $\Delta AEF,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$ vì $ AB.AF=AE.AC$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

d.Tương tự chứng minh được $\Delta DEC\sim\Delta ABC$

$\to \Delta AEF\sim\Delta DEC$

$\to \widehat{AEF}=\widehat{CED}$

$\to 90^o- \widehat{AEF}=90^o-\widehat{CED}$

$\to \widehat{FEB}=\widehat{BED}$

$\to EB$ là phân giác $\widehat{FED}$

$\to EH$ là phân giác $\widehat{FED}$

Bài 4:

a.Xét $\Delta ABD, \Delta ACE$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}(=90^o)$

$\to \Delta ABD\sim\Delta ACE(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

$\to AB.AE=AC.AD$

b.Xét $\Delta ADE, \Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ vì $AB.AE=AC.AD$

$\to \Delta ADE\sim\Delta ABC(c.g.c)$

c.Từ câu c $\to \widehat{AED}=\widehat{ACB}=\widehat{DCI}$

Xét $\Delta IBE, \Delta ICD$ có:

Chung $\hat I$

$\widehat{IEB}=\widehat{AED}=\widehat{ICD}$

$\to \Delta IBE\sim\Delta IDC(g.g)$

d.Từ câu c

$\to \dfrac{IB}{ID}=\dfrac{IE}{IC}$

$\to IE.ID=IB.IC=(IO-OB)(IO+OC)=(IO-OC)(IO+OC)=IO^2-OC^2$ vì $O$ là trung điểm $BC\to OB=OC$