Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{3^2+4^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{25}$

$\Rightarrow BC=5(cm)$.

b) Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta AMN$ có:

$AM=AC$ (giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{MAN}$ (cặp góc đối đỉnh).

$AN=AB$ (giả thiết).

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta AMN$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow BC=MN$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ABC$ là tam giác vuông tại $A$

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ$ (tổng 2 góc nhọn).

$AM=AC\Rightarrow \Delta AMC$ cân tại $A$
$\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{ACM}=\dfrac{180^\circ-\widehat{MAC}}2$
Mà $\widehat{MAC}=90^\circ$ (do kề bù $\widehat{BAC}=90^\circ$).
$\Rightarrow\widehat{ACM}=\dfrac{180^\circ-90^\circ}2=45^\circ$.
$AN=AB\Rightarrow \Delta ABN$ cân tại $A$
$\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{ANB}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAN}}2$
Mà $\widehat{BAN}=90^\circ$ (do đối đỉnh $\widehat{MAC}=90^\circ$).
$\Rightarrow\widehat{ABN}=\dfrac{180^\circ-90^\circ}2=45^\circ$.
$\widehat{ACM}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{ABN}=90^\circ+2.45^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BCM}+\widehat{NBC}=180^\circ$

$\Rightarrow NB//MC$ (tính chất đường song song).

c) $\Delta ABC=\Delta AMN$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMC}=\widehat{ACM}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\widehat{AMN}+\widehat{AMC}=\widehat{ACB}+\widehat{ACM}$

$\Rightarrow\widehat{CMN}=\widehat{BCM}$ mà $I\in MC$

$\Rightarrow\widehat{IMN}=\widehat{CMN}$ và $\widehat{BCI}=\widehat{BCM}$

Mà $\widehat{CMN}=\widehat{BCM}$ nên $\widehat{IMN}=\widehat{BCI}$.

$I$ là trung điểm của $MC\Rightarrow MI=CI$.

Xét hai tam giác $\Delta BCI$ và $\Delta MNI$ có:

$BC=MN$ (chứng minh trên).

$\widehat{IMN}=\widehat{BCI}$ (chứng minh trên).

$MI=CI$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\Delta BCI=\Delta MNI$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow BI=NI$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta BNI$ cân (hai cạnh bên bằng nhau).