Bài `8` :

a,

Ta có :

`AB = AC`

`=>` `\DeltaABC` cân tại `A`

Mà `AM` là phân giác của $\widehat{BAC}$

`=> AM` đồng thời là đường trung tuyến của `\DeltaABC`

`=> M` trung điểm `BC`

b,

Ta có :

`AF + AC = FC`

`AE + AB = BE`

Mà `AF = AE` (gt) và `AB = AC` (gt)

`=> FC = BE`

Xét `\DeltaBCE` và `\DeltaCBF`, ta có :

`BE = FC` (cmt)

$\widehat{EBC}$ = $\widehat{FCB}$ ( `\DeltaABC` cân tại `A`)

`BC` cạnh chung

`=>` `\DeltaBCE` = `\DeltaCBF` `(c.g.c)`

c,

Vì `AM` phân giác $\widehat{BAC}$

`=>` $\widehat{BAM}$ = $\widehat{CAM}$ `(1)`

Ta có :

$\widehat{FAB}$ = $\widehat{EAC}$ ( hai góc đối đỉnh) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>` $\widehat{BAM}$ + $\widehat{FAB}$ = $\widehat{CAM}$+$\widehat{EAC}$ 

`=>` $\widehat{FAM}$ = $\widehat{EAM}$ 

Xét  `\DeltaFAM` và `\DeltaEAM`, ta có :

`AF = AE` (gt)

$\widehat{FAM}$ = $\widehat{EAM}$ 

`AM` cạnh chung

`=>` `\DeltaFAM` = `\DeltaEAM` `(c.g.c)`

`=> MF = ME` ( hai cạnh tương ứng)

d,

Vì `\DeltaFAM` = `\DeltaEAM`

`=>` $\widehat{FMA}$ = $\widehat{EMA}$ ( hai góc tương ứng)

`=>MA` phân giác $\widehat{FME}$ `(3)`

Ta có :

`AE = AF`

`=>` `\DeltaAFE` cân tại `A`

Mà `AN` là trung tuyến của `\DeltaAFE` ( `N` trung điểm `EF`)

`=> AN` đồng thời là đường cao của `\DeltaAFE`

`=> AN \bot FE`

`=>` $\widehat{MNF}$ = $\widehat{MNE}$ = `90^o`

Xét `\DeltaFMN` và `\DeltaEMN` , ta có :

$\widehat{MNF}$ = $\widehat{MNE}$ = `90^o`

`MF = ME` (cmt)

`FN = NE` ( `N` trung điểm `FE`)

`=>` `\DeltaFMN` = `\DeltaEMN` `(ch-cgv)`

`=>` $\widehat{FMN}$ = $\widehat{EMN}$ ( hai góc tương ứng)

`=>MN` phân giác $\widehat{FME}$ `(4)`

Từ `(3)` và `(4)`

`=>AM \equiv MN`

`=> A,M,N` thẳng hàng

@UCKSWT

#gaytayluonroi;-;

⇒^ABF=^BCF mà A∈BD

⇒^DBF=^ABF⇒^DBF=^BCF.

Xét hai tam giác ΔBCF và ΔBDF có:

BD=BC (giả thiết).

^DBF=^BCF (chứng minh trên).

BF là cạnh chung.

⇒ΔBCF=ΔBDF (cạnh-góc-cạnh).

⇒DF=CF (hai cạnh tương ứng).

c) ΔBCF=ΔBDF (chứng minh trên).

⇒^BFC=^BFD (hai góc tương ứng).

Mà ^BFC=^BFD=180 (kề bù).
⇒^BFC=^BFD=1802=90
⇒BF⊥CD mà AH⊥CD (giả thiết).

⇒AH//BF.