Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A$ (giả thiết).

$\Rightarrow AB=AC$ (hai cạnh bên bằng nhau).

$BE$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AE=CE$.

$CF$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $AB\Rightarrow AF=BF$.

Mà $AB=AC$ nên $AE=AF\Rightarrow\Delta AEF$ cân tại $A$

$BE\cap CF=D\Rightarrow D$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AD$ đi qua trọng tâm $D$

$\Rightarrow AD$ là đường trung tuyến của $\Delta AEF$.

$\Delta AEF$ cân tại $A$ có đường trung tuyến $AD$

$\Rightarrow AD$ là đường phân giác của $\Delta AEF$.

$\Rightarrow AD$ là tia phân giác của $\widehat{EAF}$.

$\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DAF}$.

Xét hai tam giác $\Delta ADE$ và $\Delta ADF$ có:

$AE=AF$ (chứng minh trên).

$\widehat{DAE}=\widehat{DAF}$ (chứng minh trên).

$AD$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ADE=\Delta ADF$ (cạnh-góc-cạnh).

b) $AD$ là tia phân giác của $\widehat{EAF}$

Mà $F\in AB,E\in AC$

$\Rightarrow AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$.

Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

$AB=AC$ (chứng minh trên).

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (chứng minh trên).

$AD$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta BDC$ là tam giác cân.