Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{13^2-5^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{114}$

$\Rightarrow AC=12(cm)$.

b) $12cm>5cm\Rightarrow AC>AB$

$\Rightarrow\widehat{ABC}>\widehat{ACB}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

c) Xét hai tam giác $\rm vuông$ $\Delta ABH$ và $\Delta ADH$ có:

$HD=HB$ (giả thiết).

$AH$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ADH$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow  AB=AD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta ADB$ là tam giác cân.

d) Xét hai tam giác $\Delta ABH$ và $\Delta DHN$ có:

$HD=HB$ (giả thiết).

$\widehat{AHB}=\widehat{DHN}$ (cặp góc đối đỉnh).

$HN=HA$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta DHN$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{DNH}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AB//ND$ (cặp góc so le trong).

$\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow AB\,\bot\,AC$

Mà $AB//ND$ nên $ND\,\bot\,AC$.

Xét hai tam giác $\rm vuông$ $\Delta AHC$ và $\Delta HCN$ có:

$HN=HA$ (giả thiết).

$HC$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta AHC=\Delta HCN$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow AC=NC$ (hai cạnh tương ứng).

$\widehat{ACH}=\widehat{NCH}$ (hai góc tương ứng).

Mà $H\in BC\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{BCN}$.

Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta BCN$ có:

$AC=NC$ (chứng minh trên).

$\widehat{ABC}=\widehat{BCN}$ (chứng minh trên).

$BC$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABC=\Delta BCN$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BNC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BAC}=90^\circ$ nên $\widehat{BNC}=90^\circ$

$\Rightarrow BN\,\bot\,NC$.