Tính chất cơ bản :

` x^2 >= 0 \forall x`

 ` -x^2 <= 0 \forall x`

GTNN là giá trị nhỏ nhất là `>=`

GTLN là giá trị lớn nhất là `<=`

Chứng minh biểu thức dương :

Cố gắng đưa về hằng đẳng thức số `1` hoặc số `2` vd :

CM : `x^2 - 2x + 2 >= 0`

ta sẽ nghĩ tới đưa về HĐT  `( x - y )^2` ở đây là `( x - 1)^2`

`x^2 - 2x + 2`

`= x^2 - 2x + 1 + 1`

`= ( x - 1 )^2 + 1`

Vì `( x - 1 )^2 >= 0`

`-> ( x - 1)^2 + 1 >= 1 > 0` ( Cộng 2 vế cho `1` )

`-> x^2 - 2x + 2 > 0`

Chứng minh biểu thức âm:

Thường là `kx^2` sẽ mang dấu trừ `( k` ở đây là hệ số `vd : 2x^2 ; 5x^2,...)`

Vd :

Sắp xếp lại theo thứ tự giảm dần của lũy thừa. Đặt dấu `-` ra ngoài và đưa về bình phương 

VD: `CM: 12x - 3x^2 - 5 < 0`

`12x - 3x^2 - 5`

`= - 3x^2 + 2.3x.2 - 4 - 1`

`= - ( 3x )^2 + 2.3x.2 - 4 - 1`

`= - [ ( 3x )^2 - 2.3x.2 + 4 ] -1`

`= -( 3x - 2)^2  -1`

Vì `-(3x-2)^2 <= 0`

`-> -(3x-2)^2 - 1 <= -1 < 0`

`-> 12x - 3x^2 - 5 < 0`

Nếu bài có dạng ` +- ax^2 +- bx +- c` thì bạn có thể bấm máy tính 580 ( 570 thì mình không biết ) để đưa về hđt :

VD : `CM : x^2 - x + 1 > 0`

Bạn bấm Menu `->` ` 9 -> 2 -> 2` ( thấy giống hình đầu tiên là được )

Tiếp theo bạn nhập biểu thức vào máy tính

`x^2 - x + 1`

`a,b` sẽ là hệ số đứng trước `x^2` và `x` cụ thể ở biểu thức này là :

`a : 1`

`b : 1`

`c : 1`

Bạn bấm dấu "=" đến khi nào đến chữ GTNN hoặc GTLN ( Hình 2 )
ở đây nó hiện `x = 1/2` thì đây là biểu thức bình phương cần tìm bạn chuyển `1/2` qua `x` thành `x - 1/2 = 0` rồi bạn bình phương `2` vế lên sẽ được ` ( x - 1/2)^2 = 0` khai triển ra ta được `x^2 - 2x. 1/2 + 1/4 = x^2 - x + 1/4` nhưng lại thấy biểu thức ban đầu là `x^2 - x + 1` để `2` biểu thức `=` nhau thì `1/4` phải cộng thêm `3/4` nên biểu thức ban đầu sẽ được tách thành ` x^2 - x + 1/4 + 3/4`

Quay lại với Đề bài :

`x^2 - x + 1`

`= x^2 - 2x. 1/2 + 1/4 + 3/4`

`= ( x - 1/2 )^2 + 3/4`

Vì `( x - 1/2 )^2 >= 0`

`-> ( x - 1/2 )^2 + 3/4 >= 3/4 > 0`

`-> x^2 - x + 1 > 0`

Ta chứng minh được bài toán