x² - 6xy + 10y² + 10x + 20y -2011

= x² + 9y² + 25 - 6xy -30y + 10x +y²+50y -2036

 = ( x- 3y + 5) ² + ( y²+50y + 625 ) -2661

  = ( x- 3y+ 5)² + ( y-25)² -2661

Vì ( x-3y +5)² ; ( y-25)² ≥ 0

⇔ biểu thức ≥ -2661

dấu = xảy ra khi

⇔ $\left \{ {{x-3y+5 =0} \atop {y-25=0}} \right.$ 

⇔$\left \{ {{y=25} \atop {x=70}} \right.$ 

          Vậy GTNN của biểu thức là -2661  khi $\left \{ {{y=25} \atop {x=70}} \right.$ 

$x^2 -6xy+10y^2+10x+20y-2011$

$ =x^2 - 6xy + 9y^2 + y^2 +10- 30y +50y +25+625-2661$

$= (x^2-6xy+9y^2) + 10(x-3y)+25 + y^2 +50y +625 -2661$

$= [(x - 3y)^2 + 10(x-3y) +25] + (y^2+50y+625) -2661$

$ = (x-3y+5)^2 +(y+25)^2-2661$

Vì $(x-3y+5)^2 \ge 0,\ (y+25)^2 \ge 0$

$\to (x-3y+5)^2 +(y+25)^2-2661 \ge -2661$

Vậy GTNN của BT là $-2661$, dấu = xảy ra khi

$ x -3y+5=0,\ y+25=0$

$\to x = -80, y =-25$