Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB, \Delta AHC$ có:

Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$AB=AC$

$\to \Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b.Từ câu a $\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

Mà $DH//AC\to \widehat{DAH}=\widehat{BAH}=\widehat{HAC}=\widehat{AHD}$

$\to \Delta ADH$ cân tại $D\to DA=DH$

c.Ta có $DH//AB\to \widehat{DHB}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{DBH}\to \Delta HBD$ cân tại $D$

$\to DB=DH\to DA=DH=DB$

$\to D$ là trung điểm $BA$

Từ câu a $\to HB=HC\to H$ là trung điểm $BC$

Mà $AH\cap CD=G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Do $E$ là trung điểm $AC\to B, G, E$ thẳng hàng

d.Ta có $\Delta ABH$ vuông tại $H, E$ là trung điểm $AC\to EA=EC=EH$

Ta có:

$AH+3BG=AH+\dfrac32BG+\dfrac32BG=AH+BE+BE=AH+BE+CD$

Trên tia đối của tia $HA$ lấy điểm $M$ sao cho $HA=HM$

Xét $\Delta AHB,\Delta CHM$ có:

$HA=HM$

$\widehat{AHB}=\widehat{CHM}$

$HB=HC$

$\to \Delta AHB=\Delta MHC(c.g.c)$

$\to CM=AB$

$\to AM<AC+CM\to 2AH<AC+AB\to AH<\dfrac12(AB+AC)$

Tương tự chứng minh được $BE<\dfrac12(BA+BC), CD<\dfrac12(CA+CB)$

Cộng vế với vế

$\to AH+BE+CD<AB+AC+BC$

$\to AH+3BG<AB+AC+BC$

$\to đpcm$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: