Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta CKE$ có:

$\widehat{DHB}=\widehat{CKE}(=90^o)$

$DB=CE$

$\widehat{HBD}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{KCE}$

$\to \Delta HBD=\Delta KCE$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to HB=CK$

b.Xét $\Delta AHB,\Delta ACK$ có:

$AB=AC$

$\widehat{ABH}=180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}=\widehat{ACK}$

$BH=CK$

$\to \Delta ABH=\Delta ACK(c.g.c)$

$\to \widehat{AHB}=\widehat{AKC}$

c.Ta có $AD=AB+BD=AC+CE=AE$

$\to \Delta ADE$ cân tại $A$

$\to \widehat{ADE}=90^o-\dfrac12\hat A=\widehat{ABC}$

$\to BC//DE$

d.Từ câu b $\to \widehat{HAB}=\widehat{CAK}$

Xét $\Delta AHE, \Delta ADK$ có:
$AH=AK$

$\widehat{HAE}=\widehat{HAB}+\widehat{BAC}=\widehat{CAK}+\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$

$AE=AD$

$\to \Delta AHE=\Delta AKD(c.g.c)$

e.Từ câu d $\to \widehat{ADK}=\widehat{AEH}$

$\to \widehat{ADI}=\widehat{AEI}$

$\to \widehat{IDE}=\widehat{ADE}-\widehat{ADI}=\widehat{AED}-\widehat{AEI}=\widehat{IED}$

$\to \Delta IDE$ cân tại $I\to ID=IE$

Lại có $AD=AE$

$\to A, I\in$ trung trực của $DE$

$\to AI$ là trung trực của $DE$

$\to AI\perp DE$