Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta DAB,\Delta DHB$ có:

$\widehat{DAB}=\widehat{DHB}(=90^o)$

Chung $BD$

$\widehat{ABD}=\widehat{DBH}$

$\to \Delta ABD=\Delta HBD$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BA=BH$

$\to \Delta BAH$ cân tại $B$

 Mà $\hat B=60^o\to \Delta ABH$ đều

b.Từ câu a $\to DA=DH$

Mà $DH\perp BC\to DH<DC$

$\to DA<DC$

c.Xét $\Delta ADK, \Delta DHC$ có:

$\widehat{ADK}=\widehat{HDC}$

$DA=DH$

$\widehat{DAK}=\widehat{DHC}(=90^o)$

$\to \Delta ADK=\Delta HDC(g.c.g)$

$\to AK=HC$

$\to BK=BA+AK=BH+HC=BC$

$\to \Delta BCK$ cân tại $B$

Mà $\hat B=60^o$

$\to \Delta BCK$ đều

Ta có $KH\perp BC, CA\perp BK, CA\cap KH=D$

$\to D$ là trực tâm $\Delta BCK$

Do $\Delta BCK$ đều

$\to D$ là trọng tâm $\Delta KBC$

d.Do $D$ là trọng tâm $\Delta KBC, KD\cap BC=H\to H$ là trung điểm $BC$

$\to HB=HC=2$

Mà $\Delta DHC$ vuông tại $H, \hat C=90^o-\hat B=30^o$

$\to \Delta DCH$ là nửa tam giác đều cạnh $DC$

$\to HC=DH\sqrt3$

$\to DH=\dfrac{HC}{\sqrt3}=\dfrac2{\sqrt3}$

Do $D$ là trọng tâm $\Delta KBC$ và $\Delta KBC$ đều

$\to BI=KH$

$\to DI=\dfrac13BI=\dfrac13KH=DH=\dfrac2{\sqrt3}$