Câu 3:

$a)$

Gọi $x (tuổi)$ là số tuổi của mẹ năm nay
Gọi $y (tuổi)$ là số tuổi của con năm nay
$(x, y > 0)$

Vì tổng số tuổi của mẹ và con hiện nay là $35$ tuổi nên ta có phương trình:

$x + y = 35$ $(1)$

Hai mươi năm sau, số tuổi của mẹ là $x + 20$ $(tuổi)$ , số tuổi của con là $y + 20$ $(tuổi)$.

Vì hai mươi năm sau tuổi mẹ gấp hai lần tuổi con nên ta có phương trình:

$x + 20 = 2(y + 20)$
$<=> x + 20 = 2y + 40$
$<=> x - 2y  = 40 - 20$
$<=> x - 2y  = 20$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

$\left \{ {{ x + y = 35} \atop { x - 2y = 20}} \right.$ 
$<=>$ $\left \{ {{ x = 35 - y} \atop { - 3y = -15}} \right.$ 
$<=>$ $\left \{ {{ x = 35 - y} \atop { y = 5}} \right.$ 
$<=>$ $\left \{ {{ x = 35 - 5} \atop { y = 5}} \right.$ 
$<=>$ $\left \{ {{ x = 30 }\atop { y = 5 }} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hiện nay tuổi của mẹ là $30$ $(tuổi)$, tuổi của con là $5$ $(tuổi)$

$b)$

Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh dự thi trường A
Gọi $y$ (học sinh) là số học sinh dự thi trường B
$(x, y) > 0$

Tổng số học sinh của hai trường A và B là:

$x + y = 274 : 68,5$%
$<=>$ $x + y = 274 :$ $\frac{68,5}{100}$
$<=>$ $x + y = 274 .$ $\frac{100}{68,5}$
$<=>$ $x + y = 400$ $(1)$

Tổng số học sinh đỗ nguyện vọng của trường A và B là:

$62,5$%$x + 72,5$%$y = 274$
$<=>$ $0,625x + 0,725y = 274$
$<=>$ $625x + 725y = 274000$
$<=>$ $25x + 29y = 10960$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

$\left \{ {{ x + y = 400} \atop { 25x + 29y = 10960}} \right.$ 
$<=>$ $\left \{ {{ 25x + 25y = 10000} \atop { 25x + 29y = 10960}} \right.$ 
$<=>$ $\left \{ {{ 25x + 25y = 10000} \atop { 4y = 960}} \right.$
$<=>$ $\left \{ {{ x + y = 400} \atop { y = 240}} \right.$
$<=>$ $\left \{ {{ x + 240 = 400} \atop { y = 240}} \right.$
$<=>$ $\left \{ {{ x = 400 - 240} \atop { y = 240}} \right.$
$<=>$ $\left \{ {{ x = 160} \atop { y = 240}} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh dự thi của trường A là $160$ (học sinh), số học sinh dự thi của trường B là $240$ (học sinh)

Câu 4:

Phương trình: $x^{2}$ $- 2(m - 1)x -$ $m^{2}$ $+ 2m - 2 = 0$ $(1)$
$Δ'$ $=$ $[-(m-1)]^{2}$ $- 1.($$-m^{2}$ $+ 2m - 2)$
$Δ'$ $=$ $m^{2}$ $- 2m + 1$ + $m^{2}$ $- 2m + 2$
$Δ'$ $=$ $2m^{2} - 4m + 3$
$Δ'$ $=$ $2($$m^{2} - 2m + $$\frac{3}{2})$ 
$Δ'$ $=$ $2($$m^{2} - 2.m.1 + 1^{2} - 1^{2} + $$\frac{3}{2})$ 
$Δ'$ $=$ $2($$m^{2} - 2.m.1 + 1^{2} + $$\frac{1}{2})$ 
$Δ'$ $=$ $2($$m^{2} - 2.m.1 + 1^{2} $$)$ + $\frac{1}{2}$ . $2$
$Δ'$ $=$ $2$$(m-1)^{2}$  + $1$
Vì $(m-1)^{2}$ $\geq$ $0$
$=>$ $2(m-1)^{2}$ $\geq$ $0$
$=>$ $2(m-1)^{2} + 1$ $>$ $0$ $∀ m$
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$ với mọi giá trị của $m$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
$\left \{ {{x_{1} + x_{2} = 2m - 2} \atop {x_{1}.x_{2} = -m^{2} + 2m - 2}} \right.$  

Ta có: $\frac{1}{x_{1}}$ + $\frac{1}{x_{2}}$ $=$ $-\frac{4}{5}$ 
$<=>$ $\frac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}$ + $\frac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}$ $=$ $-\frac{4}{5}$ 
$<=>$ $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$ $=$ $-\frac{4}{5}$ 
$<=>$ $\frac{2m - 2}{-m^{2} + 2m - 2}$ $=$ $-\frac{4}{5}$ 
$<=>$ $\frac{2 - 2m}{m^{2} - 2m + 2}$ $=$ $-\frac{4}{5}$ 
$<=>$ $-4($$m^{2} - 2m + 2)$ $=$ $5(2-2m)$
$<=>$ $-4m^{2} + 8m - 8$ $=$ $10 - 10m$
$<=>$ $-4m^{2} + 8m - 8 - 10 + 10m$ $=$ $0$
$<=>$ $-4m^{2} + 18m - 18$ $=$ $0$
$<=>$ $2m^{2} - 9m + 9$ $=$ $0$
$<=>$ $2m^{2} - 6m -3m + 9$ $=$ $0$
$<=>$ $2m(m - 3) - 3(m - 3)$ $=$ $0$
$<=>$ $(m - 3)(2m - 3)$ $=$ $0$
$<=>$ \(\left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\2m - 3 = 0\end{array} \right.\) 
$<=>$ \(\left[ \begin{array}{l}m = 3\\2m = 3\end{array} \right.\) 
$<=>$ \(\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = \frac{3}{2}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với $m = 3$ hoặc $m =$ $\frac{3}{2}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$ thỏa mãn hệ thức: $\frac{1}{x_{1}}$ + $\frac{1}{x_{2}}$ $=$ $-\frac{4}{5}$