*Lời giải :

$1/$
Ta có : `hat{ABC} + hat{ABD} = 180^o`

Ta có : `hat{ACB} + hat{ACE} = 180^o`

mà `hat{ABC} = hat{ACB}`

`-> hat{ABD} = hat{ACE}`

Xét `ΔABD` và `ΔACE` có :

`hat{ABD} = hat{ACE} (cmt)`

`BD = CE (GT)`

`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔABD = ΔACE (c.g.c)`

`-> AD = AE` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔADE` cân tại `A`

$\\$
$\\$

$2/$

Vì `ΔABD = ΔACE (cmt)`

`-> hat{D} = hat{E}` (2 góc tương ứng)

Xét `ΔHBD` và `ΔKCE` có :

`hat{DHB} = hat{EKC} = 90^o`

`BD = CE (GT)`

`hat{D} = hat{E} (cmt)`

`-> ΔHBD = ΔKCE (ch - gn)`

`-> BH = CK` (2 cạnh tương ứng)

$\\$
$\\$
$3/$

Vì `ΔHBD = ΔKCE (cmt)`

`-> HD = KE`

Ta có : `AH = AD - HD, AK = AE - KE`

mà `AD = AE, HD = KE`

`-> AH = AK`

$\\$
$\\$
$4/$

Ta có : `AH = AK`

`-> ΔAHK` cân tại `A`

`-> hat{AHK} = hat{AKH} = (180^o - hat{A})/2 (1)`

Vì `ΔADE` cân tại `A`

`-> hat{ADE} = hat{AED} = (180^o - hat{A})/2 (2)`

Từ `(1), (2) -> hat{AHK} = hat{ADE}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ HK//DE$

$\\$

$\\$

$5/$

Dễ dàng chứng minh được `ΔABH = ΔACK`

`-> hat{ABH} = hat{ACK}` (2 góc tương ứng)

Ta có : `hat{ABH} + hat{ABC} + hat{CBO} = 180^o`

Ta có : `hat{ACK} + hat{ACB} + hat{BCO} = 180^o`

mà `hat{ABH} = hat{ACK}, hat{ABC} = hat{ACB}`

`-> hat{CBO} = hat{BCO}`

`-> ΔBOC` cân tại `O`

$\\$
$\\$

$6/$

Ta có : `AB = AC`

`-> A` nằm trên đường trung trực của `BC (1)`

Ta có : `IB = IC` (Vì `I` là trung điểm của `BC (2)`

`-> I` nằm trên đường trung trực của `BC (2)`

Ta có : `OB = OC` (Vì `ΔOBC` cân tại `O`)

`-> O` nằm trên đường trung trực của `BC (3)`

Từ `(1), (2), (3) -> A,I,O` thẳng hàng