*Lời giải :

$a/$

Vì `BE, CK` là đường trung tuyến

`⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}AK = \dfrac{1}{2}AB\\AE = \dfrac{1}{2}AC\end{array} \right.\)

mà `AB = AC`

`-> AK = AE`

Xét `ΔABE` và `ΔACK` có :

`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`AK = AE (cmt)`

`hat{A}` chung

`-> ΔABE = ΔACK (c.g.c)`

`-> BE = CK` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b/$

Vì `ΔABE = ΔACK (cmt)`

`-> hat{ABE} = hat{ACK}` (2 góc tương ứng)

$\\$

$\\$

$c/$

Ta có : `hat{ABE} + hat{GBC} = hat{B}`

Ta có : `hat{ACK} + hat{GCB} = hat{C}`

mà `hat{ABE} = hat{ACK}, hat{B} = hat{C}`

`-> hat{GBC} = hat{GCB}`

`-> ΔGBC` cân tại `G`

$\\$
$\\$

$d/$

Vì `CK` là đường trung tuyến trong `ΔABC`

Vì `BE` là đường trung tuyến trong `ΔABC`

mà `CK` cắt `BE` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AH` là đường cao

`-> AH` là đường trung tuyến

`-> AH` đi qua trọng tâm `G`

`-> A,H,G` thẳng hàng

a/ \(BE,CK\) là đường trung tuyến ứng \(AC,AB\) mà \(AB=AC\)

\(→AK=AE=KB=EC\)

Xét \(ΔABE\) và \(ΔACK\):

\(AK=AE(cmt)\)

\(\widehat{A}:chung\)

\(AB=AC(gt)\)

\(→ΔABE=ΔACK(c-g-c)\)

\(→BE=CK\) (2 cạnh tương ứng)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

b/ \(ΔABE=ΔACK→\widehat{ABE}=\widehat{ACK}\) (2 góc tương ứng)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

c/ \(\begin{cases}\widehat{B}=\widehat{C}(ΔABC\,\,cân\,\,tại\,\, A)\\\widehat{ABE}=\widehat{ACK}(cmt)\end{cases}\\→\widehat{B}-\widehat{ABE}=\widehat{C}-\widehat{ACK}\,\,hay\,\, \widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)

\(→ΔGBC\) cân tại \(G\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

d/ Xét \(ΔABC\):

\(BE,CK\) là đường trung tuyến \(AC,AB\) mà \(BE∩CK≡\{G\}\)

\(→G\) là trọng tâm \(ΔABC\)

\(→AG\) là đường trung tuyến ứng \(BC\) mà \(ΔABC\) cân tại \(A\)

\(→AG\) là đường trung trực \(BC\) (1)

\(ΔABC\) cân tại \(A\) mà \(AH\) là đường cao \(BC\)

\(→AH\) là đường trung trực \(BC\) (2)

(1)(2) \(→A,G,H\) thẳng hàng