`p^2 ( p - 3 ) ( p + 3 ) + 2015k + 4 ( p^2 + 16 )`

`= p^2 ( p^2 - 9 ) + 2015k + 4p^2 + 64`

`= p^2 ( p^2 - 9 + 4 ) + 2015k + 64`

`= p^2 ( p^2 - 5 ) + 2015k + 64`

Vì số chính phương chia `5` chỉ dư `0 , 1 , 4` mà `p \ne 5`

`=> p^2 : 5` dư `4` hoặc `1`

Xét `p^2 ≡ 1 ( mod 5 ) => p^2 - 5 ≡ - 4 ≡ 1 ( mod 5 )`

`=> p^2 ( p^2 - 5 ) ≡ 1 ( mod 5 )`

`=> p^2 ( p^2 - 5 ) + 2015k + 64 ≡ 0 ( mod 5 )`

Xét `p^2 ≡ 4 ( mod 5 ) => p^2 - 5 ≡ - 1 ≡ 4 ( mod 5 )`

`=> p^2 ( p^2 - 5 ) ≡ 4 . 4 ≡ 16 ≡ 1 ( mod 5 )`

`=> p^2 ( p^2 - 5 ) + 2015k + 64 ≡ 0 ( mod 5 )`

`=> p^2 ( p^2 - 5 ) + 2015k + 64 vdots 5 AA k in Z` 

Ta có : `p^2(p-3)(p+3)+2015k+4(p^2+16)`

`= p^2(p^2-9)+2015k+4p^2+64`

`= p^4-9p^2+2015k+4p^2+64`

 `= p^4-5p^2+64+2015k`

`= p^2(p^2-5)+64+2015k`

Trước hết ta chứng minh `p^2` chia cho `5` chỉ dư `1` hoặc `4`

Vì `p` là số nguyên tố khác `5 => p \cancel{vdots} 5 => p^2 \cancel{vdots} 5 `

Nếu `p≡1 (mod 5) => p^2≡1 (mod 5)`

        `p≡2 (mod 5) => p^2≡4 (mod 5)`

        `p≡3 (mod 5) => p^2≡9≡4 (mod 5)`

        `p≡4 (mod 5) => p^2≡16≡1 ( mod 5)`

Vậy `p^2` chia cho `5` chỉ dư `1` hoặc `4`

Xét `p^2≡1 (mod 5)`

`=> p^2-5≡1-5=4 (mod 5)`

`=> p^2(p^2-5)≡-4 (mod 5)`

`=> p^2(p^2-5)+64≡-4+64=60≡0 (mod 5)` (1)

Xét `p^2≡4 (mod 5)`

`=> p^2-5≡-1 (mod 5)`

`=> p^2(p^2-5)≡-4 (mod 5)`

`=> p^2(p^2-5)+64≡-4+64=60≡0 (mod 5)` (2) 

Từ `(1)` và `(2)` ta suy ra `p^2(p^2-5)+64 \vdots 5`

Vì `p^2(p^2-5)+64 \vdots 5 ; 2015k \vdots 5 => p^2(p^2-5)+64+2015k \vdots 5` hay `p^2(p-3)(p+3)+2015k+4(p^2+16) \vdots 5 AA k \in ZZ` ( điều phải chứng minh )