$#Kingann$

$a)$ Ta chú ý rằng: Đường thẳng đi qua $A$, $B$ có dạng $\frac{x-xA}{xA-xB}=$ $\frac{y-yA}{yA-yB}$

Vậy đường thẳng có dạng: $\frac{x-1}{1+2}=$ $\frac{y-3}{3-1}⇔2x-2=3y-9$ hay $y=\frac{2}{3}x+$ $\frac{7}{3}$

$b)$ Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên Δ. Các điểm $D(0;\frac{7}{3})$ và $E(-\frac{7}{2};0)$  là giao của Δ với các trục $Oy$, $Ox$. Ta có:

$\frac{1}{OH^2}=$ $\frac{1}{OD^2}=$ $\frac{1}{OE^2}$

$\frac{1}{OH^2}=$ $\frac{1}{(-\frac{7}{2})^2}+$$\frac{1}{(\frac{7}{3})^2}=$$\frac{4+9}{7^2}⇒ OH=$ $\frac{7}{√ 13}$

$c$ Gọi đườnng thẳng đi qua $C$ có dạng $t=ax+b$

$+)$ Vì $d$ song song Δ nên $a=\frac{2}{3}⇒y=$ $\frac{2}{3}x+b$

Vì $d$ đi qua $C(2;-1)$ nên $-1=\frac{2}{3}.2+b⇒b=-1-$ $\frac{4}{3}=$ $-\frac{7}{3}$ 

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $y=\frac{2}{3}x-$ $\frac{7}{3}$ 

$+)$ Vì $d$ vuông góc với tam giác nên $a.(\frac{2}{3})=-1⇒a=$ $-\frac{3}{2}$ hay $x=-\frac{3}{2}x+b$ 

Vì $d$ đi qua $C(2;-1)$ nên $-1=-\frac{3}{2}.2+b⇒b=2$ 

Vậy ta được $y=-\frac{3}{2}x+2$