a/ Xét \(ΔABD\) và \(ΔEBD\):

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (\(BD\) là đường phân giác \(\widehat{B}\) )

\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}(=90^\circ)\)

\(BD:chung\)

\(→ΔABD=ΔEBD(CH-GN)\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

b/ \(ΔABD=ΔEBD→BA=BE\) (2 cạnh tương ứng)

\(→ΔBAE\) cân tại \(B\) mà \(BD\) là đường phân giác \(\widehat{B}\)

\(→BD\) là đường trung trực \(AE\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

c/ Xét \(ΔBFC\):

\(FE,AC\) là đường cao \(BC,BF\) mà \(FE∩AC≡\{D\}\)

\(→D\) là trực tâm \(ΔBFC\)

\(→BD\) là đường cao \(FC\) hay \(BD⊥FC\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

d/ Xét \(ΔADF\) và \(ΔEDC\):

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\) (đối đỉnh)

\(AD=FD\) (\(ΔABD=ΔEBD\) )

\(\widehat{DAF}=\widehat{DEC}\) (\(=90^\circ\) )

\(→ΔADF=ΔEDC(g-c-g)\)

\(→DF=DC\) (2 cạnh tương ứng)

Áp dụng BĐT tam giác ta được:

\(AE<DA+DE\)

Xét \(ΔDAF\) vuông tại \(A\):

\(DA<DF\) 

Xét \(ΔDEC\) vuông tại \(E\):

\(DE<DC\)

\(→DA+DE<DF+DC\)

\(→AE<2DC\)

Đáp án :

a)

Xét ΔABD và ΔEBD có :

góc BAD = góc BED = 90 độ

góc ABD = góc EBD (Vì BD là tia p/g của góc B)

BD chung

-> ΔABD = ΔEBD (ch - gn)

$\\$

$\\$

b)

Vì ΔABD = ΔEBD (cmt)

-> AB = EB -> B nằm trên đường trung trực của AE (1)

-> AD = ED -> D nằm trên đường trung trực của AE (2)

Từ (1), (2) -> BD là đường trung trực của AE

$\\$

c)

Xét ΔFBC có :

CA⊥BF (GT)

FE⊥BC (GT)

D là giao của CA và FE (D∈AC)

-> D là trực tâm của ΔFBC

-> BD⊥FC

$\\$

d)

Cách 1 :

Xét ΔADF và ΔEDC có :

góc FAD = góc CED = 90 độ

AD = ED (cmt)

góc ADF = góc EDC (2 góc đối đỉnh)

-> ΔADF = ΔEDC (g.c.g)

-> DF = DC (2 cạnh tương ứng)

Xét ADE có :

AE < AD + DE (BĐT trong Δ) (1)

Xét ΔEDC vuông tại E có :

DC là cạnh lớn nhất 

-> DC > DE

Xét ΔADF vuông tại A có :

DF là cạnh lớn nhất

-> DF > AD

Từ đó (1) sẽ thành :

AE < AD + DE < DF + DC

↔ AE < 2DC

Cách 2 :

Gọi M là giao điểm của BD và AE

Dễ dàng chứng tỏ đc M là trung điểm của AE

-> EM = 1/2AE

-> AE = 2EM

Xét ΔEMD vuông tại M có :

DE là cạnh lớn nhất

-> DE > EM (1)

Xét ΔDEC vuông tại E có :

DC là cạnh lớn nhất

-> DC > DE (2)

Từ (1), (2) -> DC > EM

-> DC > 2EM

-> 2DC > 2EM

mà 2EM = AE

-> AE < 2DC