Đáp án:

a)

$\begin{array}{l}
Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\
 = {6^2} + {8^2} = 100\\
 \Leftrightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\\
Theo\,t/c:\\
\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{6} = \dfrac{{DC}}{{10}} = \dfrac{{AD + DC}}{{6 + 10}} = \dfrac{8}{{16}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AD = 3\left( {cm} \right)\\
DC = 5\left( {cm} \right)
\end{array} \right.\\
b)Xet:\Delta ABD;\Delta HBI:\\
 + \widehat {ABD} = \widehat {HBI}\\
 + \widehat {BAD} = \widehat {BHI} = {90^0}\\
 \Leftrightarrow \Delta ABD \sim \Delta HBI\left( {g - g} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{BI}}\\
 \Leftrightarrow AB.BI = BD.HB\\
c)Do:\Delta ABD \sim \Delta HBI\\
 \Leftrightarrow \widehat {ADI} = \widehat {HIB}\\
Do:\widehat {HIB} = \widehat {AID}\\
 \Leftrightarrow \widehat {ADI} = \widehat {AID}
\end{array}$

=> Tam giác AID cân tại A

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)`Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:

                     `BC²=AB²+AC²`

                     `BC²=6²+8²`

                     `BC²=36+64`

                     `BC²=100`

                     `BC=`$\sqrt[]{100}$

                     `BC=10(cm)`

Vì `BD` là tia phân giác của `∠ABC` nên ta có:

        `(AD)/(CD)=(AB)/(CB)`

    `⇒(AD)/(CD+AD)=(AB)/(CB+AB)`

    `⇒(AD)/(CA)=(AB)/(CB+AB)`

    `⇒(AD)/(8)=(6)/(10+6)`

    `⇒AD=(6.8)/(10+6)`

    `⇒AD=(48)/(16)`

    `⇒AD=3(cm)`

Ta có:`DC=AC-AD=8-3=5(cm)`

Vậy `AD=3(cm),DC=5(cm)`

`b)` Xét `ΔABD` và `ΔHBI` có:

`∠ABD=∠HBI(`gt`)`

`∠BAD=∠BHI=90^o`

`⇒ΔABD~ΔHBI(g.g)`

`⇒(AB)/(HB)=(BD)/(BI)`

`⇒AB.BI=BD.HB(đpcm)`

`c)`Theo câu `b)ΔABD~ΔHBI(g.g)`

`⇒∠ADB=∠HIB(2` góc tương ứng `)`

Hay `∠ADI=∠HIB`

Mà `∠HIB=∠AID(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒∠ADI=∠AID`

`⇒ΔAID` cân tại `A`