Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A`

`=> BC^2=AB^2+AC^2` (pytago)

`=> AC^2=BC^2-AB^2=10^2-5^2=75`

`=> AC=5\sqrt{3}cm`

b) `ΔABC` vuông tại `A=> AB⊥AC => \hat{BAD}=90^0`

`E` là hình chiếu của `D` trên `BC => DE⊥BC`

`=> \hat{BED}=90^0`

Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có:

`\hat{BAD}=\hat{BED}=90^0`

`BD`: cạnh chung

`\hat{ABD}=\hat{EBD} (BD` là đường phân giác của `ΔABC) `

`=> ΔABD=ΔEBD` (cạnh huyền-góc nhọn)

c) `ΔABD=ΔEBD => AB=EB`

Xét `ΔABC` và `ΔEBF` có:

`\hat{BAC}=\hat{BEF}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A; DE⊥BC)`

`AB=BE` (cmt)

`\hat{ABC}=\hat{EBF}`

`=> ΔABC=ΔEBF` (g.c.g)

d) `BD` là đường phân giác của `ΔABC; F∈AB`

`=> BD` là phân giác của `\hat{FBC}`

`ΔABC=ΔEBF => BC=BF`

`=> ΔBFC` cân tại `B`

lại có `BD` là đường phân giác (`BD` là phân giác `\hat{FBC})`

`=> BD` là đường trung tuyến

mà `G` là trung điểm của `FC`

`=> G∈BD => B, D, G` thẳng hàng

`a)` Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ta có $:$

$BC^2 = AB^2 + AC^2 ($ Định lý Pitago ta $)$

`=> AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75`

`=> AC = \sqrt{75}`

Vậy `AC = \sqrt{75}cm`

`b)` Xét $\triangle$ $ABD$ và $\triangle$ $EBD$ ta có $:$

$\widehat{BAD}$ $=$ $\widehat{BED}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $E ; E$ là hình chiếu `D` trên `BC )`

$BD$ chung

$\widehat{ABD}$ $=$ $\widehat{EBD}$ $($ vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $)$

`=>` $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD ( ch - gn )$

`c)` Xét $\triangle$ $ABC$ và $\triangle$ $EBF$ ta có $:$

$\widehat{BAC}$ $=$ $\widehat{BEF}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $E ; E$ là hình chiếu `D` trên `BC )`

$BE = BA ($ vì $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD )$

$\widehat{ABC}$ chung

`=>` $\triangle$ $ABC$ $=$ $\triangle$ $EBF ( cgv - gnk )$

`=> BF = BC ( 2` cạnh tương ứng $)$ 

`d)` Vì $\triangle$  $BFC$ cân tại $B ( BF = BC )$

Mà $BG$ là đường trung tuyến của $\triangle$ $BFC ( G$ là trung điểm $FC )$

`=> BG` đồng thời là đường cao của $\triangle$ $BFC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

`=> BG` $\bot$ $FC (1)$

Ta có `: AD = DE (` vì $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD )$

`=> D in` trung trực của `AE`

Mà `B in` trung trực của `AE ( BA = BE )`

`=> BD in` trung trực của `AE`

`=> BD` $\bot$ $AE (2)$

Từ $(1) ; (2)$

`=>` $BD$ $\equiv$ $BG$

`=>` $\overline{B ; D ; G}$